二次根式提高练习题.docxVIP

二次根式提高练习题

二次根式是初中代数的重要组成部分，也是后续学习更高级数学知识的基础。对二次根式的熟练掌握，不仅要求我们理解其基本概念和性质，更要能灵活运用这些知识解决复杂问题。下面，我们将通过一系列有针对性的提高练习题，帮助同学们深化理解，提升解题技巧。

一、核心概念与性质回顾

在进行提高练习之前，让我们简要回顾一下二次根式的核心概念与性质，这是解决所有问题的基石。

1.二次根式的定义：形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的前提。

2.二次根式的基本性质：

*(√a)2=a(a≥0)

*√(a2)=|a|={a,a≥0;-a,a0}。这一性质尤为重要，在化简和计算中经常用到，需特别注意符号问题。

3.二次根式的乘除法则：

*√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)

*√a/√b=√(a/b)(a≥0,b0)

4.二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）进行合并。

二、提高练习题

（一）二次根式的化简与求值

例1：化简√(x2-6x+9)+√(x2-8x+16)，其中3x4。

思路点拨：观察到根号下的式子均为完全平方式，可以利用√(a2)=|a|的性质进行化简。然后根据给定的x的取值范围，判断绝对值内代数式的正负，再去掉绝对值符号进行合并。

参考答案：

原式=√[(x-3)2]+√[(x-4)2]=|x-3|+|x-4|

因为3x4，所以x-30，x-40。

故原式=(x-3)+(4-x)=1。

练习1：已知a0，化简√(4a2)-√(9a2)+|a|。

练习2：若√(a+1)+√(b-1)=0，求a2?23+b2?2?的值。（提示：利用非负数的性质）

（二）二次根式的四则运算

例2：计算(√12-√(1/3)-√18)-(√(1/8)-√27)

思路点拨：先将每个二次根式化为最简二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式。注意运算顺序和符号。

参考答案：

原式=(2√3-(√3)/3-3√2)-((√2)/4-3√3)

=2√3-√3/3-3√2-√2/4+3√3

=(2√3+3√3)+(-√3/3)+(-3√2-√2/4)

=5√3-√3/3-(13√2)/4

=(15√3-√3)/3-(13√2)/4

=(14√3)/3-(13√2)/4

练习3：计算(√5+√2)(√5-√2)-(√3-1)2

练习4：计算(√24-√0.5+2√(2/3))-(√(1/8)+√6)

（三）分母有理化

例3：将1/(√3+√2)分母有理化。

思路点拨：对于分母为两个二次根式之和（或差）的形式，通常利用平方差公式，分子分母同乘以分母的有理化因式（即共轭根式）。

参考答案：

1/(√3+√2)=(√3-√2)/[(√3+√2)(√3-√2)]=(√3-√2)/(3-2)=√3-√2。

练习5：将(√5-√3)/(√5+√3)分母有理化。

练习6：计算1/(1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+...+1/(√99+√100)。（提示：先分别分母有理化，再观察规律）

（四）二次根式的混合运算与化简求值

例4：先化简，再求值：(a-√(ab))/(√a-√b)-(a+4√(ab)+4b)/(√a+2√b)，其中a=9，b=4。

思路点拨：第一个分式的分子可以分解因式，与分母进行约分；第二个分式的分子是完全平方式，同样可以分解后约分。注意运算顺序，先算乘除，后算加减。

参考答案：

原式=[√a(√a-√b)]/(√a-√b)-[(√a+2√b)2]/(√a+2√b)

=√a-(√a+2√b)

=√a-√a-2√b

=-2√b

当b=4时，原式=-2√4=-2×2=-4。

练习7：已知x=(√3+√2)/(√3-√2)，y=(√3-√2)/(√3+√2)，求x2+xy+y2的值。（提示：先化简x和y，或先求x+y与xy的值）

（五）含字母参数的二次根式问题

例5：若最简二次根式√(3a-1)与√