专题02 全等三角形（原卷版） -【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）.docxVIP

专题02全等三角形

思维导图

核心考点聚焦

全等图形

全等三角形的性质

全等三角形的判定方法

添加条件使三角形全等

全等三角形的应用

全等三角形与动点问题

角平分线的性质与判定

倍长中线模型

证明线段和差问题

10、常见的辅助线

全等三角形的定义和基本性质

1.基本定义

（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.

（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.

（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.

（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.

2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：

（1）图形特征法：

最长边对最长边，最短边对最短边；

最大角对最大角，最小角对最小角．

（2）位置关系法：

①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．

②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．

（3）字母顺序法：

根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．

3．全等三角形的性质及应用

①全等三角形的对应边相等；

②全等三角形的对应角相等；

③全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等；

④全等三角形的周长相等，面积相等．

二、三角形全等的判定方法及思路

1．全等三角形的判定方法：

“边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

“边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

“角边角”定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

“角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

“斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

2．全等三角形的证明思路：

三、角平分线的性质

1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．

注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等．

2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线．

一、全等的几种模型

（1）平移型

（2）对称型

（3）旋转型

二、常见的几种添加辅助线构造全等三角形的方法

1．倍长中线法

倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长.如图：

已知：在三角形ABC中，O为BC边中点，

辅助线：延长AO到点D使AO＝DO，

结论：△AOB≌△DOC.

证明：如图，延长AO到点D使AO＝DO，由中点可知，OB＝OC，

在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC.

总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．

2．截长或补短（含有线段－关系或求证两线间关系时常用）．

截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．

基本图形，如下：

在中，平分

（1）在上截取；（2）把延长到点，使.

考点剖析

考点一、全等图形

例1．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．

????

考点二、全等三角形的性质

例2．如图，A，E，C三点在同一直线上，且．

??

(1)求证：；

(2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想．

考点三、全等三角形的判定方法

例3．如图，点，，，在同一直线上，点A，在异侧，，，．

(1)请判断和的数量关系，并说明理由；

(2)若，，求的度数．

考点四、添加条件使三角形全等

例4．如图，已知.

(1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号）

(2)选择（1）中的一种情况进行证明．

考点五、全等三角形的应用

例5．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．

(1)当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．

(2)如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．

考点六、全等三角形与动点问题

例6．如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向A点运动，设运动时间为秒．

??

(1)用含的代数式表示的长度