高中数学新人教版必修第二册题型考点讲义 第33讲二面角的几何求法（解析版）.pdfVIP

第讲二面角的几何求法

33

【知识梳理】

一：面与面的夹角（二面角）

①二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两

个平面称为二面角的面.（二面角l或者是二面角ACDB）

图1图2

②二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两

条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0，]．

题型一：二面角选填题

【例】如图，已知，PB，垂足为、，若，则二面角l的大小是．

1PAABAPB60______

2

【答案】120##

3

【分析】根据APB与二面角大小互补进行求解.

【详解】设二面角l的大小为，



因为PA，PB，垂足为、，

AB

所以APB180，又APB60，所以180APB120.

故答案为：120

【例】如图，大小为120的二面角l的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两

2ABPMNQ

个面内，并且都垂直于棱若，，NQ4，则PQ

l.MN2PM3_____________.

【答案】41

【分析】利用空间向量的线性运算可得，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即

PQPMMNNQ

可得解.

【详解】根据题意，，

PQPMMNNQ



由二面角l大小为120，可得PM,NQ60，



2

PQ(PMMNNQ)2



222

PMMNNQ2PMMN2NQMN2PMNQ

1

941623441，

2

uuur

所以PQ41，

故答案为：41

【例3】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒

尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2

倍，则侧面与底面的夹角的正切值为___________．

【答案】3

a

【分析】设此四棱锥底面边长为，斜高为，根据条件列式，得到ha，再根据二面角的定义，

P-ABCDh

找到二面角的平面角，即可计算正切值.

a

【详解】如图，设此四棱锥底面边长为，斜高为，连结、交于点，连结，底