大学二年级线性代数2025年上学期专项训练试卷（含答案）.docxVIP

大学二年级线性代数2025年上学期专项训练试卷（含答案）

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

设向量组α?=(1,2,3),α?=(0,1,1),α?=(t,1,5)。

(1)当t取何值时，向量组α?,α?,α?线性相关？

(2)当t取何值时，向量组α?,α?,α?线性无关？

二、

计算行列式|A|的值：

A=|1-23|

|210|

|12-1|

三、

设矩阵A=|123|

|014|

|002|

(1)求A的秩r(A)。

(2)求A的逆矩阵A?1。（若A不可逆，请说明理由）

四、

求解线性方程组：

x?+2x?+x?=1

2x?+5x?+3x?=2

x?+3x?+2x?=0

五、

设向量组β?=(1,0,-1),β?=(2,k,1),β?=(1,1,0)。

(1)若β?,β?,β?线性无关，求k的取值范围。

(2)若β?,β?,β?线性相关，且β?可由β?,β?线性表示，求k的值及表示式。

六、

设矩阵B=|100|

|110|

|011|

(1)求B的特征多项式f(λ)。

(2)若矩阵A满足A2-B=0，且A的一个特征值为2，求矩阵A的特征值。

七、

证明：如果向量组α?,α?,...,α?(r≥2)线性相关，那么其中至少有一个向量可以由其余r-1个向量线性表示。

八、

设V={(x?,x?,x?)∈R3|x?+x?+x?=0}。

(1)证明V是R3的一个子空间。

(2)求V的一个基及维数。

试卷答案

一、

(1)t=5

(2)t≠5

解析：

(1)向量组线性相关，则存在不全为零的数c?,c?,c?使得c?α?+c?α?+c?α?=0，即

c?(1,2,3)+c?(0,1,1)+c?(t,1,5)=(c?,2c?+c?+c?,3c?+c?+5c?)=(0,0,0)。

得到方程组：

c?=0

2c?+c?+c?=0

3c?+c?+5c?=0

此方程组有非零解，其系数矩阵为：

|10t|

|011|

|015|

其行列式为：

|10t|

|011|

|015|=1*(1*5-1*1)-0+t*(0-0)=4

当且仅当此行列式等于零时，方程组有非零解，即4=0，解得t=5。故当t=5时向量组线性相关。

(2)向量组线性无关，则上述方程组只有零解，其系数行列式不为零，即t≠5。

二、

|A|=-1

解析：

用按第一列展开法计算行列式：

|1-23|

|210|

|12-1|=1*|10|

|2-1|-(-2)*|20|

|1-1|+3*|21|

|||11|

=1*(1*(-1)-0*2)+2*(2*(-1)-0*1)+3*(2*1-1*1)

=1*(-1)+2*(-2)+3*(1)

=-1-4+3

=-2.

三、

(1)r(A)=3

(2)A?1=|-25-10|

|02-4|

|0-12|

解析：

(1)矩阵A已为上三角矩阵，其非零行数为3，故秩r(A)=3。

(2)对矩阵A进行行变换化为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的行变换，即可得到逆矩阵。

A=|123|~|123|

|014|