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2025年中考数学压轴题解析试卷及答案

题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线\(y=ax^{2}+bx+c\)经过\(A(1,0)\)，\(B(3,0)\)，\(C(0,3)\)三点，其顶点为\(D\)，连接\(BD\)，点\(P\)是线段\(BD\)上一个动点（不与\(B\)、\(D\)重合），过点\(P\)作\(y\)轴的垂线，垂足为\(E\)，交抛物线于点\(F\)。

(1)求抛物线的解析式及顶点\(D\)的坐标；

(2)当点\(P\)在线段\(BD\)上运动时，求线段\(PF\)长度的最大值；

(3)在(2)的条件下，当\(PF\)取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点\(Q\)，使得以\(B\)、\(P\)、\(Q\)为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点\(Q\)的坐标；若不存在，请说明理由。

答案解析

(1)求抛物线的解析式及顶点\(D\)的坐标

设抛物线的解析式为\(y=a(x+1)(x3)\)，把\(C(0,3)\)代入可得：

\[

\begin{align}

3=a(0+1)(03)\\

3=3a\\

a=1

\end{align}

\]

所以抛物线的解析式为\(y=(x+1)(x3)=x^{2}+2x+3\)。

将其化为顶点式：\(y=x^{2}+2x+3=(x1)^{2}+4\)，所以顶点\(D\)的坐标为\((1,4)\)。

(2)求线段\(PF\)长度的最大值

设直线\(BD\)的解析式为\(y=kx+m\)，把\(B(3,0)\)，\(D(1,4)\)代入可得：

\(\begin{cases}3k+m=0\\k+m=4\end{cases}\)

用第一个方程减去第二个方程消去\(m\)可得：

\[

\begin{align}

3k+m(k+m)=04\\

3k+mkm=4\\

2k=4\\

k=2

\end{align}

\]

把\(k=2\)代入\(k+m=4\)可得：\(2+m=4\)，解得\(m=6\)。

所以直线\(BD\)的解析式为\(y=2x+6\)。

设\(P\)点的横坐标为\(t\)，因为\(P\)点在直线\(BD\)上，所以\(P(t,2t+6)\)，又因为\(F\)点在抛物线上且横坐标也为\(t\)，所以\(F(t,t^{2}+2t+3)\)。

则\(PF=(t^{2}+2t+3)(2t+6)=t^{2}+4t3=(t2)^{2}+1\)。

因为二次项系数\(1\lt0\)，所以当\(t=2\)时，\(PF\)有最大值\(1\)。

(3)判断在抛物线对称轴上是否存在点\(Q\)，使得以\(B\)、\(P\)、\(Q\)为顶点的三角形是直角三角形

当\(t=2\)时，\(P(2,2)\)，抛物线对称轴为直线\(x=1\)，设\(Q(1,n)\)。

已知\(B(3,0)\)，\(P(2,2)\)，\(Q(1,n)\)，根据两点间距离公式\(d=\sqrt{(x_2x_1)^{2}+(y_2y_1)^{2}}\)可得：

\(BP^{2}=(23)^{2}+(20)^{2}=1+4=5\)；

\(BQ^{2}=(13)^{2}+(n0)^{2}=4+n^{2}\)；

\(PQ^{2}=(12)^{2}+(n2)^{2}=1+(n2)^{2}=n^{2}4n+5\)。

①当\(\angleBPQ=90^{\circ}\)时，\(BP^{2}+PQ^{2}=BQ^{2}\)，即\(5+(n^{2}4n+5)=4+n^{2}\)，

\[

\begin{align}

5+n^{2}4n+5=4+n^{2}\\

4n=410\\

4n=6\\

n=\frac{3}{2}

\end{align}

\]

②当\(\angleBQP=90^{\circ}\)时，\(BQ^{2}+PQ^{2}=BP^{2}\)，即\(4+n^{2}+n^{2}4n+5=5\)，

\[

\begin{align}

2n^{2}4n+4=0\\

n^{2}2n+2=0\\

\Delta=(2)^{2}4\times1\times2=48=4\lt0

\end{align}

\]

此方程无实数解。

③当\(\anglePBQ=90^{\circ}\)时，\(BP^{2}+BQ^{2}=PQ^{2}\)，即\(5+4+n^{2}=n^{2}4n+5\)，

\[

\begin{align}

9+n^{2}=n^{2}4n+5\\

4