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2025年中考数学导数应用专项训练卷及答案

一、选择题

1.函数\(y=x^{3}3x\)的单调递减区间是（）

A.\((\infty,1)\)B.\((1,+\infty)\)

C.\((1,1)\)D.\((\infty,1)\cup(1,+\infty)\)

【答案】C

【解析】对函数\(y=x^{3}3x\)求导，\(y^\prime=(x^{3}3x)^\prime=3x^{2}3\)。令\(y^\prime0\)，即\(3x^{2}30\)，化简得\(x^{2}10\)，因式分解为\((x+1)(x1)0\)，解得\(1x1\)，所以函数\(y=x^{3}3x\)的单调递减区间是\((1,1)\)。

2.已知函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)，且\(0f(1)=f(2)=f(3)\leq3\)，则（）

A.\(c\leq3\)B.\(3c\leq6\)

C.\(6c\leq9\)D.\(c9\)

【答案】C

【解析】由\(f(1)=f(2)=f(3)\)可得：

\(\begin{cases}1+ab+c=8+4a2b+c\\1+ab+c=27+9a3b+c\end{cases}\)

由\(1+ab+c=8+4a2b+c\)，可得\(1+ab=8+4a2b\)，移项化简得\(3ab=7\)①；

由\(1+ab+c=27+9a3b+c\)，可得\(1+ab=27+9a3b\)，移项化简得\(8a2b=26\)，即\(4ab=13\)②；

②①得\(a=6\)，把\(a=6\)代入①得\(b=11\)。

所以\(f(x)=x^{3}+6x^{2}+11x+c\)，又\(f(1)=1+611+c=c6\)，因为\(0f(1)\leq3\)，即\(0c6\leq3\)，解得\(6c\leq9\)。

3.函数\(f(x)=x^{3}3x^{2}+1\)在\(x=\)（）处取得极小值。

A.\(0\)B.\(2\)

C.\(2\)D.\(3\)

【答案】B

【解析】对\(f(x)=x^{3}3x^{2}+1\)求导得\(f^\prime(x)=3x^{2}6x=3x(x2)\)。

令\(f^\prime(x)=0\)，则\(3x(x2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。

当\(x0\)时，\(f^\prime(x)=3x(x2)0\)，函数\(f(x)\)单调递增；

当\(0x2\)时，\(f^\prime(x)=3x(x2)0\)，函数\(f(x)\)单调递减；

当\(x2\)时，\(f^\prime(x)=3x(x2)0\)，函数\(f(x)\)单调递增。

所以\(x=2\)时函数\(f(x)\)取得极小值。

二、填空题

4.函数\(y=x+2\cosx\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值是______。

【答案】\(\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}\)

【解析】对\(y=x+2\cosx\)求导得\(y^\prime=12\sinx\)。

令\(y^\prime=0\)，即\(12\sinx=0\)，解得\(\sinx=\frac{1}{2}\)，因为\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，所以\(x=\frac{\pi}{6}\)。

当\(x\in[0,\frac{\pi}{6})\)时，\(y^\prime=12\sinx0\)，函数\(y\)单调递增；

当\(x\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]\)时，\(y^\prime=12\sinx0\)，函数\(y\)单调递减。

所以当\(x=\frac{\pi}{6}\)时，函数取得最大值，\(y_{max}=\frac{\pi}{6}+2\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}\)。

5.已知函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+a^{2}\)在\(x=1\)处有极值\(10\)，则\(a+b=\)______。

【答案】\(7\)

【解析】对\(f(x)=x^{3}+ax^