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九年级数学圆与切线专项讲义

同学们，我们已经学习了圆的基本概念和性质，今天我们将深入探讨圆的一个重要专题——切线。切线在圆的知识体系中占据着核心地位，它不仅是各类考试的重点，也在解决实际几何问题中有着广泛的应用。掌握好切线的性质与判定，能帮助我们更深刻地理解圆的对称性和几何关系。让我们一起走进切线的世界，探索它的奥秘。

一、切线的定义与几何意义

我们先来明确什么是切线。在平面几何中，切线指的是与圆只有一个公共点的直线。这个唯一的公共点，我们称之为切点。

从几何直观上看，切线就像是圆的“边缘”直线，它轻轻地“触碰”圆于一点，既不穿入圆内，也不远离圆外。这种特殊的位置关系，赋予了切线许多独特的性质。

二、切线的性质定理及其推论

掌握切线的性质，是我们解决切线相关问题的基础。

（一）切线的性质定理

定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

我们来理解这个定理。如果一条直线是圆的切线，并且它与圆相切于点A，那么，连接圆心O和切点A所得的半径OA，就一定与这条切线垂直。简单来说，就是“切线垂直于过切点的半径”。

这个定理非常重要，它建立了切线与半径之间的垂直关系，为我们提供了角度计算和线段证明的关键依据。在题目中，一旦出现切线和切点，我们首先应该想到连接圆心和切点，构造出这条“天然”的垂线。

几何语言表述：

若直线l与⊙O相切于点A，则OA⊥l。

（二）切线性质定理的推论

由切线的性质定理，我们还可以得到两个重要的推论：

1.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

也就是说，如果一条直线经过圆心，并且它垂直于一条切线，那么这条直线肯定会经过这条切线与圆的切点。

2.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

同样地，如果一条直线经过切点，并且垂直于切线，那么这条直线也一定经过圆心。

这两个推论实际上告诉我们，圆心、切点以及切线的垂线这三个要素是紧密相连的。在一个圆和它的一条切线所构成的图形中，“过圆心”、“过切点”、“垂直于切线”这三个条件，只要知道其中两个，就必然能推出第三个。这在我们进行几何作图和证明时，是非常有用的指导思想。

三、切线的判定定理

知道了切线的性质，那么如何判断一条直线是不是圆的切线呢？这就需要我们掌握切线的判定定理。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这个定理包含了两个关键条件，缺一不可：

1.经过半径的外端：这条直线必须与圆的某条半径相交，并且交点恰好是这条半径的外端点（也就是圆周上的点）。

2.垂直于这条半径：这条直线与这条半径所成的角必须是直角（90度）。

只有同时满足这两个条件，我们才能判定这条直线是圆的切线。

几何语言表述：

若直线l经过⊙O的半径OA的外端A，且l⊥OA，则直线l是⊙O的切线。

在运用判定定理时，我们常常需要“构造”出条件。如果题目中告诉了直线与圆有一个公共点，那么我们通常会连接圆心和这个公共点（即“连半径”），然后去证明这条半径与直线垂直（即“证垂直”）。如果题目中没有明确告诉直线与圆的公共点，那么我们可能需要过圆心向这条直线作垂线（即“作垂直”），然后去证明垂线段的长度等于圆的半径（即“证半径”）。这两种思路是我们证明切线时常用的方法。

四、切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，会有什么规律呢？这就是切线长定理要告诉我们的。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

这里，我们要明确“切线长”的概念。切线长是指从圆外一点到切点之间的线段的长度，而不是切线这条直线的长度（直线是无限长的）。

如图（请同学们自行在脑海中构想或在纸上画出），点P是⊙O外一点，PA、PB分别是⊙O的两条切线，切点分别为A、B。那么根据切线长定理，我们有：

1.PA=PB：两条切线的长度相等。

2.∠APO=∠BPO：点P和圆心O的连线PO平分∠APB。

切线长定理在解决与三角形内切圆相关的问题时，有着极为广泛的应用。例如，三角形的内切圆与三角形的三边都相切，那么从三角形的一个顶点出发的两条切线长相等。利用这一点，我们可以轻松地解决很多涉及三角形边长与内切圆半径关系的问题。

五、典型例题解析

例题1：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，且∠A=∠P。求证：PC是⊙O的切线。

分析：要证PC是⊙O的切线，已知点C在⊙O上（即PC经过半径的外端C），根据切线的判定定理，只需证明OC⊥PC即可。

证明：

连接OC。

∵OA=OC（同圆半径相等），

∴∠A=∠OCA（等边对等角）。

又∵∠A=∠P（已知），

∴∠OCA=∠P（等量代换）。

在△ACP中，∠A+∠P+∠ACP=180°（三角形内角和定理）