精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷（原卷版）.docxVIP

2025-2026学年第一学期10月阶段测评

高三数学

2025年10月

（考试时间120分钟满分150分）

提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

在答题卡上，选择题用铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）

A. B. C. D.

3.若，则下列不等式成立的是（）

A B.

C D.

4.要得到函数的图象，只需将的图象（）

A.向右平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向左平移个单位

5.已知，且，则（）

A.有最大值 B.有最小值

C.有最大值 D.有最小值

6.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤（）

（参考数据：）

A.2次 B.3次 C.4次 D.5次

7.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最大值为（）

A.0 B. C. D.1

8.在等比数列中，．则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个

①；

②直线与平面所成角不变；

③点到直线的距离不变；

④点到四点的距离相等.

其中，所有正确结论的序号为（）

A.②③ B.③④

C.①③④ D.①②④

10.已知中，，，且（）最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值为（）

A.0 B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在答题卡上）

11.若复数满足，则的虚部为________.

12.已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，，则___________，___________.

13.已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________．

14.已知函数的定义域为，且对任意的都满足.当时，若函数与的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是________.

15.已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论：

①实数；

②数列为等差数列；

③当时，对任意，存在，当时，；

④当恒成立时，一定为递减数列．

其中所有正确结论的序号是_____．

三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.已知函数的一个零点为．

（1）求的值及的最小正周期；

（2）若对恒成立，求最大值和的最小值．

17.如图，在正方体中，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离.

18.在中，内角的对边分别为，为钝角，，．

（1）求；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．

条件①：；条件②：；条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

19.已知函数，

（1）直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程；

（2）已知直线分别交曲线和于点，.当时，设的面积为，其中O是坐标原点，求的最大值.

20.已知函数，曲线在处的切线方程为.

（1）求a，b的值：

（2）①求证：只有一个零点；

②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为.若，求u的取值范围.

21.已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.

（1）若，求的值；

（2）若，且，求；

（3）证明：存在，满足使得．