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用列函数关系式的方法解数字规律题

摘要：有关“猜想、归纳与探索”类型的数字规律题是一种常见的题型，考查了数字与图形之间的规律，几乎遍及到了每年的中考题中。有些数学思维薄弱点的同学对其中一些较复杂的类型，由于时间的紧迫和心情的紧张，往往一时苦无对策。针对这种情况，笔者结合自己的数学解题教学实践，总结出了用求函数解析式的方法来帮助那些思维薄弱的同学，在寻找图形规律无果的情况下，提供一种行之有效的方法。

关键词：数字规律，函数解析式，列方程组

有关“猜想、归纳与探索”类型的数字规律题是一种常见的题型，考查了数字与图形之间的规律，在中考题中特别常见。简单的自然不用说，大多数同学都能较轻松地解决，而复杂一点的试题，一些数学思维薄弱点的同学，由于时间的紧迫和心情的紧张，往往一时做不出来，导致胡猜乱想。针对这种情况，笔者结合自己的数学解题教学实践，总结出了用求函数解析式的方法来解决某类数字规律类型的试题。一种情况是用求一次函数关系式的方法求

解；另一种情况是用求二次函数关系式的方法求解

下面笔者通过例题的方式来介绍这种求解方法：

一、用求一次函数关系式的方法求解：

在(图形)数字规律的题型中，如果相邻图形的相关元素所对应的个数间隔相等，那么可以用求一次函数关系式的方法来求解。

证明如下：

设一次函数的关系式为y=kx+b,相邻三个数X?`X?X?的间隔均为△x,

则x?=x?+△x,x?=x,+2△x,因而y=kx,+b,y=kx?+b=k(x,+△x)+b,y=k

x?+b=k(x+2△x)+b。

x?+b=k(x+2△x)+b。所以y,和y

数值的间隔为k△x,这样就得到了p?=P?即一次函数等间隔自变量的函数值的间隔相等。

方法应用一：

例1:n

个“中”字形图案需根火柴棒.

2

(2)(1)

(2)

(3)

分析：从图中可以看出三个相邻图形火柴棒的根数分别为9、15、21,它们的间隔都是6,因而可以用求一次函数关系式的方法来求解。

解：设y=kn+b,当n=1时，y=9;当n=2时，y=15;

因而可以得到方程组,解得

所以y=6n+3,

故第n个图形需要(6n+3)根小棒

例2:用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为(用含n的代数式表示)。

第一个图案第二个图案第三个图案

分析：从图中可以看出三个相邻图形中的正三角形的个数分别为6、10、14,它们的间隔都是4,因而也可以用求一次函数关系式的方法来求解。

解：设y=kn+b,当n=1时，y=6;当n=2时，y=10;

因而可以得到方程组,解得所以y=4n+2,

故第n个图案中正三角形的个数为4n+2

二、用求二次函数关系式的方法求解：

在(图形)数字规律的题型中，相邻图形的相关元素所对应的个数，第二次的间隔相等，那么可以用求二次函数关系式的方法来求解。

证明如下：

设二次函数关系式为y=ax2+bx+c,相邻四个数X?、X?X?`x?的间隔均

3

为△X,则x=x+△x,x=x+2△x,x=x+3△x,y=ax2+bx+C,y=ax?

x)+c,,这样第一次的间隔分别为p.=y?-y,=a(△x2+2△xx?)+b△x,P?=v-y?=a(3△x2+2△xx?)+b△x,P,=

y?-y=a(5△x2+2△xx?)+b△x,那么第二次间隔为P?=P?-p.=2a△x2P=

P?-P?=2a△x2,也相等。

所以P?=P?

即二次函数等间隔自变量的函数值第二次间隔

【注：△x2表示△x的平方，(x?+△x)2表示(x?+△x)的平方】。

方法应用二：

例3:如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要_枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子.

分析：此题我们可以由图形看出第四个图形棋子总数按每层数的个数相加有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个，但如果用这种方法一直相加显