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由一道联考试题探究几类命题之间的内在联系

摘要：在高中教学生涯中，笔者发现有关圆锥曲线的斜率问题及定点问题常常作为命题热点出现在各类大型考试中。且对于此类问题，考生们大多仅会套用结论求解，达不到理解其本质，善用其技巧来解决问题的应试水平。故此，笔者对此类问题展开一系列研究。随研究不断深入，此类问题背后暗含的内在联系也逐渐清晰。笔者认为，利用有关射影几何中调和线束相关知识即可把握其关系，领悟其本质，从根本寻的解题之道。借此以帮助考生提高数学学科的核心素养，培养并锻炼其思维方式和能力。并希望以此次有关研究为契机，带领考生领悟数学之美，打破“僵化教学”切实做到“一切从实践中来，一切到实践中去。”下面笔者将通过四类试题的解答过程来阐述其中的内在联系。

关键词：调和线束、斜率之比、定点定值

一、定直线相关问题

第一道试题来自四川省2020年高三大数据精准教学第二次统一监测理科数学试卷第20题：

例题1:在直角坐标系内，点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),P是坐标平面

内的动点，且直线PA,PB的斜率之积等于-.设点P的轨迹为C.

(1)求C的轨迹方程

(2)某同学对轨迹C的性质进行探究发现：若过点(1,0)且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相较于M,N两点，则直线AM,BN的交点Q在一条定直线上。此结论是否正确?若正确，请给予证明，并求出定制线方程；若不正确，请说明理由.

解析：(1):设点C(x,y),当斜率存在时，因为1

所化简可得4y2=4-x2,即

(2):根据题意，可设直直线MN的方

:x=my+1,由

联立方

程组消去x可得：.其D=4m2+12(m2+4)=16m2+480.

设M,则,因直线l的倾斜角不为0,故x?,x?不等于±2(y?,y?不为0),从而可设直线AM的直线方程为

(x+2)①,直线BN的直线方程为②,所以，直线

AM,BN的交点Q(x,y)的坐标然而

因此，xo=4,即点Q在直线x=4上.

所以，该同学探究发现的结论是正确的。

在阅卷的过程中，发现很多学生通过联立得出Q(x?,y%)的坐标满足

)这个关系式。再通过韦达定理计算可得到x?=4。这种借助于极配原理求解的方法并不利于培养考生的计算能力和探寻它们之间的内在联系。

在解答过程中，笔者选择将设线与圆锥曲线进行联立，而后利用韦达定理解点进行求解。在此过程中笔者发现有一个核心条件，并且很多题目都是利用这个核心条件来来命题甚至用其设置新的题型。

以下是笔者的解题过程：

解析：(1):设点C(x,y),当斜率存在时，因为i

22

所以化简可得4y=4-x,即

(2):如图1,根据题意，

图1

可设设直线AM的直线方程为x=miy-2,直线BN的直线方程为

x=m2y+2,

联立直线AM和椭圆

消去x可得：.设

M(x?,y?),则

,QyA=0,1

消去x可得：.设

联立直线BN和椭圆

又因,QyB=0,1M(x?,y?),

又因

,QyB=0,1

为M,N和点(1,0)在同一条直线上，所以

,整理得,即m(3m2

)联立直线为

)联立直线

即

,将①式代入xQ可AM和BN

,将①式代入xQ可

得x。=4,即点Q在直线x=4上。所以，该同学探究发现的结论是正确的。在解

题时发现，该题目在设计时利用的核心条件是。下面给出一道类似问题。变式：2012年全国高中数学联赛贵州省预赛第11题：如图2,已知A,B的

椭圆)的左、右顶点，P,Q是该椭圆上不同于顶点的两点，直线AP与直线QB相交于点M,直线AQ与直线PB相交于点N。

(1)求证：MN^AB;

(2)若弦PQ过椭圆的右焦点F,求直线MN的方程。

图2

利用斜率之比这个核心变量，还可构不同类型的定点定值问题。

二、与向量数量积为定值相关的问题

如以改编自2011年四川卷理科第21题为例：

例题2:已知椭圆的顶点A(a,0)B(-a,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于另一点C,D,并与x轴相交于点P(4,0),直线AP与直线BD相交于点Q。

(1)当线段CD的长为时，求直线l的方程；

(2)求证：OPgOQ为定值。

解