2026高考数学复习：圆锥曲线焦点三角形内切圆及阿基米德三角形问题（含解析）.pdfVIP

重难点培优07椭圆,双曲线焦点三角形内切圆及抛物线中的

阿基米德三角形问题

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01知识重构-重难梳理固根基1

02题型精研-技巧通法提能力5

题型一椭圆中焦点三角形的内切圆（★★★★）5

题型二双曲线中焦点三角形的内切圆（★★★★★）11

题型三抛物线与阿基米德三角形（★★★★★）24

03实战检测-分层突破验成效36

检测I组重难知识巩固36

检测II组创新能力提升49

01

知识重构-重难橙理固根基

一、阿基米德三角形

1、定义：如图所示，为抛物线子=2力30）的弦，B（x2,y2）,分别过A,8作的抛物线的切

线交于点尸，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.

2、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）

rA

性质2：MA±MB；

性质3：MN//x轴；

性质4:SaABM最小值为P214635

对于点A,B:

①抛物线焦点弦与抛物线的交点

②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点

对于点M

③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点

④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点

满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”

3、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）

1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点C（x0,y0）,则另一顶点户的轨迹为一条直线.

3、若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.

3

4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为土.

RP

5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为

6、点户的坐标为「七，给

7、底边所在的直线方程为（工1+x2）x-2py-x1x2=0;

8、的面积为5响」邑_习.

PABSp

9、若点户的坐标为(吒,为)，贝I］底边的直线方程为扃工-〃()+%)=0.

10、如图1,若E为抛物线弧上的动点，点E处的切线与处，P8分别交于点C,D,则

\AC\=\CE\JPD\

\CP\~\ED\~\DB\

11、若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形的边P4,P8分别交

于点C,D,则，迎=2.

口、PCD

12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的2.

3

二、椭圆中的焦点三角形内切圆

1、焦点三角形双内切圆模型1

22

点M(x0,y0)为椭圆与+土=1上任意一点，点P为△PF?的内心，点G为的重心。

ab

性质1、假设焦点XPF\L的内切圆半径为,，则S=(Q+c)r.

性质2、MA=MB=a-c

性质3、MF1-MF2=2xp

性质4、十纬，。忘％，…,*六

PQ_

性质5、而=《

性质6、卓成—一Z

性质7、G（m，）

—*—*2

性质8、MP・MG=（q2-如）

22

性质9、P的轨迹为与+名=1（0）

Cy

（a+c）2

2、焦点三角形内切圆模型2

A22

k2=—+疽—1,上为直线AB的倾斜角

（1）2

三、双曲线焦点三角形内切圆的统一性质