2026高考数学复习：导数中的新定义问题（含解析）.pdfVIP

重难点培优14导数中的新定义问题

目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）

01知识重构-重难梳理固根基1

02题型精研-技巧通法提能力2

题型一曲率问题（★★★★★）2

题型二牛顿法（★★★★）7

题型三凹凸函数（★★★）11

题型四拐点、不动点、稳定点（★★★★★）15

题型五二元函数（★★★）26

题型六切线相关新定义问题（★★★★）33

题型七其他导数新概念定义（★★★★★）45

题型八其他导数新运算定义（★★★★）52

题型九其他导数新性质定义（★★★★★）59

03实战检测-分层突破验成效64

检测I组重难知识巩固64

检测II组创新能力提升99

01

知识重构-重难梃理固根基

一、新定义问题的解题思路

1、深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联

系。

2、转化：将题目中的新函数与已学函数联系来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、

图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式。

3、代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函

数解析式，从而解决问题。

二、解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步

1、对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；

2、对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；

3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接

按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，

注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考

生也不要轻易放弃。

三、导数新定义问题的方法和技巧

1、可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

2、可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

3、发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

4、如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书

上的概念.

02

题型精研-技巧通法提能力

♦题型一曲率问题♦

1.（24-25高三下•广东东莞•月考）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线。是光滑的，在

曲线。上选定一点“0作为度量弧S的基点.设曲线上点M对应于弧S,在点M处的倾角为a,曲线上另外

一点AT对应于弧s+攵，在点AT处的倾角为◎+△◎,则弧段场，的长度为|最|,当动点转到时切

线转动的角度为〔△用，用比值兰来表示弧段而的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作反.类似于从

平均速度引入瞬时速度的方法，当这个AT趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线。在M处的曲率，

AryI

记作K；犬二1血皆.在数学上给出曲率的公式：火=!氏福=.（其中V，丁分别表示J=

在点M处的一阶、二阶导数），根据定义，椭圆—+y2=l在点的曲率为.

16^7

【答案】

49

【分析】由［右,；］在第一象限，可得y=—两次对函数求导，代入曲率计算公式求解即可.

由题意y—±^1~~~,因为

【详解】在第一象限，所以*=

22

则/=--