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解题技巧专题：与二次根式运算有关的综合问题

(7类热点题型讲练)

目录

TOC\o1-3\h\u【考点一利用二次根式的非负性求值】 1

【考点二二次根式的混合运算问题】 4

【考点三含二次根式的整体代入求值】 9

【考点四二次根式的分母有理化】 11

【考点五复合二次根式的化简】 18

【考点六二次根式运算中的新定义型问题】 26

【考点七二次根式运算中的规律探究问题】 32

【考点一利用二次根式的非负性求值】

例题：（23-24八年级下·河北邯郸·期末）若的两边a，b满足，则它的第三边c为．

【答案】5或

【分析】本题考查非负性，勾股定理，根据非负性求出的值，分两种情况，利用勾股定理进行求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，，

当为直角边时：；

当为斜边时：；

故答案为：5或．

【变式训练】

1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知，则的值是．

【答案】

【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性即可求解．

【详解】解：∵，，

且，

∴，，

∴，

∴，，

∴．

故答案为：

2．（23-24七年级下·湖南长沙·单元测试）若，则．

【答案】

【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，先根据非负数的性质求出，，代入计算即可得出答案．

【详解】解：∵，，，

∴，，

∴，，

∴，

故答案为：．

3．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，则的平方根为．

【答案】

【分析】本题考查了数的开方和非负数的性质，平方根，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式，最后根据平方根的定义即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

【详解】解：∵，

∴，，

解得：，，

∴，

∴的平方根为，

故答案为：．

4．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知a，b为实数，且a，b满足，则

【答案】/

【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得出a，b值，代入所求代数式求值即可得到结论．

【详解】解：，

即，

，解得，

将代入得，

，

故答案为：．

5．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知：实数满足关系式求的值．

【答案】2027

【分析】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解，，的值是解题的关键．根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解，，的值，再代入计算即可求解．

【详解】解：由题意得，

解得，，，

．

6．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式．

(1)求a，b的值；

(2)求第三边的长．

【答案】(1)

(2)或

【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，勾股定理：

（1）根据算术平方根的性质可得，从而得到，即可求解；

（2）分两种情况：若第三边为斜边，若为斜边，结合勾股定理，即可求解．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）解：若第三边为斜边，第三边的长为；

若为斜边，第三边的长为；

综上所述，第三边的长为或．

【考点二二次根式的混合运算问题】

例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．

（1）先根据二次根式的乘除法则进行计算，再合并解题即可；

（2）先利用完全平方公式计算和二次根式的除法计算，然后合并计算即可．

【详解】（1）解：

；

（2）

．

【变式训练】

1．（23-24八年级上·四川达州·期末）计算题：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．

（1）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可；

（2）先利用平方差公式和完全平方公式、分母有理化计算，再加减运算即可．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

2．（23-24八年级上·四川达州·期末）化简：

(1)

(2)

【答案】(1)1；

(2)．

【分析】（1）先化简二次根式及零次幂，再根据二次根式的加减混合运算法则，即可求解；

（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类二次根式，即可求解．

【详解】（1）解：

=1；

（2）解：

．

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算法则，完全平方公式，平方差公式及零次幂，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键．

3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】本题考查二次根式的混合运算，