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第五章极限定理

内容提要

一、切比雪夫不等式

切比雪夫不等式是概率统计理论上的一个重要不等式,用来证明大数定

律,理解方差作为随机变量取值的离散程度的“尺度”的意义,以及估计随机

变量落在均值附近的对称区间上的概率的大小,等等.

切比雪夫不等式

设X是一随机变量,数学期望EX和方差DX都存在.对任给常数

ε0,有

DX

P−XEX≥≤,

{||}ε2

ε

或

DX

−PXEX≥−.

{||}1ε2

ε

二、大数定律

大数定律是指在一定条件下,足够多的随机变量的算术平均值具有稳定

性的一系列定理.

1.切比雪夫大数定律

设X1,X2,…,Xn相互独立,具有相同的分布,且EXiμ,

2nε0

DX∞σ,i=1,2,…,,则对任意给定的,有

i

1n

lim{|P−=|Xμ}ε1,

∑i

n

→∞ni1

或

1n

lim{|P−=≥|Xμ}ε0.

∑i

n

→∞ni1

2.贝努里大数定律

98

XnAA

设是次独立试验中事件出现的次数,又设在每次试验中,事件

出现的概率为,,则对于任意给定的ε0,有

0p1p

X

lim{||}1−P=pε,

→n∞n

或

X

lim{||}0−P=≥pε.

→n∞n

三、中心极限定理

中心极限定理是指在一定