第1章 勾股定理 知识清单、易错总结（解析版）.docxVIP

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第一章勾股定理

一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

二、勾股定理证明

（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

三、勾股定理逆定理

1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如）.

（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.

四、勾股数

像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数

五、平面展开图-最短路径问题

几何体中最短路径基本模型如下：

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解.

易错点1利用勾股定理求线段的多解问题

1．在中，，点是直线上一点，，，连接，则线段的长为．

【答案】或

【分析】了勾股定理，分当在线段上时，当在线段延长线上时，再由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

【详解】由题意得：，

如图，当在线段上时，

??

∴，

在中由勾股定理得：，

如图，当在线段延长线上时，

??

∴，

在中由勾股定理得：，

综上可知：的长为或．

2．如图，在中，，点P为射线上一点，将沿所在直线翻折，点C的对应点为点，如果点在射线上，那么．

【答案】/6

【分析】本题考查勾股定理，翻折等知识，分两种情况：点在上和点在延长线上，并分别画出图形，在中利用勾股定理列方程解出即可，熟练运用勾股定理是解题的关键．

【详解】解：在直角三角形中，

由勾股定理，得

点为射线上一点，分两种情况：

①点在上时，如图，

设由翻折可知

，

在中，

由勾股定理，得

即，

解得：

②点在的延长线上时，如图，

设由翻折可知

在中，

由勾股定理，得

即

解得：，

故答案为：或6．

3．已知中，，，边上的高，求边的长．

【答案】的长为或．

【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况讨论：①当为锐角三角形时，②当为钝角三角形时，根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．

【详解】解：分两种情况讨论：

①当为锐角三角形时，如图：

∵，

∴，

∵，，

在中，，

在中，，

∴；

②当为钝角三角形时，如图：

∵，

∴，

∵，，

在中，，

在中，，

∴，

综上所述，的长为或．

易错点2利用勾股定理求折叠的多解问题

4．如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为．

【答案】3或6/6或3

【分析】此题考查翻折变换(折叠问题)，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质分别求解即可．

【详解】解：如图，当时，

∵，

∴，

∴点共线，

∵，，

∴，

设，则，

在中，则有，

解得：，

∴．

如图，当时，，

??

∵，

∴，

∴；

综上所述，满足条件的的值为3或6．

故答案为：3或6．

5．如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为．

【答案】或

【分析】本题考查了勾股定理、折叠综合问题，分类讨论：当时，当时，利用勾股定理及折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．

【详解】解：当时，如图：

??

，

长方形沿折叠，使点落在点处，

，

，

∴，

当时，如图：

??

在中，，，

，

长方形沿折叠，使点落在点处，

，，，

点、、共线，即点在上，，

设，则，，

在中，，

即：，

解得，

∴，

∴，

故答案为：或．

6．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为．

【答案】3或

【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可．

【详解】解：∵点落在边的三等分点处，，

∴或，

由折叠可知：，

∴，

当时，在中，由勾股定理得：，

∴，

∴；

当时，在中，由勾股定理得：，

∴，

∴；

综