第1章 §1.4　两条直线的交点.docxVIP

§1.4两条直线的交点

学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．

导语

在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等．

一、判断直线的交点及由交点求参数

问题点A(－2,2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？

提示在，点A是l1与l2的交点．

知识梳理

1．设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0：

方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解

一组

无数组

无解

直线l1，l2的公共点

一个

无数个

零个

直线l1，l2的位置关系

相交

重合

平行

2.已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．

注意点：

(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．

(2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.

例1(1)(多选)(教材P27例1改编)下列选项中，正确的有()

A．直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1,3)

B．直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2,1)

C．直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2,2)

D．直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交

答案AD

解析方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x＋y－5＝0))的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1,3)，A正确；

方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,2x－4y＋8＝0))有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误；

方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋2＝0，,2x＋y－3＝0))无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误；

方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y＝x))的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,2x＋y－3＝0))的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,2x＋y－3＝0))的解也为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))所以，三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D正确．

(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为()

A．－24B．24C．6D．±6

答案A

解析联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－k＝0，,x－ky＋12＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k2－36,3＋2k)，,y＝\f(k＋24,3＋2k)，))因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，所以y＝eq\f(k＋24,3＋2k)＝0，解得k＝－24.

反思感悟(1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系．

(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线．

延伸探究

若将(1)中选项D改为“三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点”，求m的值．

解解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝14－4x，