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数学建模竞赛试题
B题：如何进行人员分配
“A公司”是一家从事建筑工程的公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示：
表1人员结构及工资情况
人员
工资情况
高级工程师
工程师
助理工程师
技术员
人数
9
17
10
5
日工资（元）
250
200
170
110
目前，公司承接4个工程项目，其中2项是现场施工，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不同，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2：
表2不同项目和各种人员的收费标准
人员
项目
高级工程师
工程师
助理工程师
技术员
收费
（元/天）
A
1000
800
600
500
B
1500
800
700
600
C
1300
900
700
400
D
1000
800
700
500
为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3所示：
表3各项目对专业技术人员结构的要求
项目
人员
A
B
C
D
高级工程师
1~3
2~5
2
1~2
工程师
2~8
助理工程师
技术员
——
总计
说明：
（1）项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；
（2）高级工程师相对稀少，而且是保证质量的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备要求不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；
（3）各项目客户对总人数都有限制；
（4）由于C，D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支；
由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41，应如何合理地分配现有的人员力量，使公司每天的直接受益最大？
对各项目分配的技术人员数目设如下变量：
项目
人员数目
A
B
C
D
高级工程师
x11
x12
x13
x14
工程师
x21
x22
x23
x24
助理工程师
x31
x32
x33
x34
技术员
x41
x42
x43
x44
2、目标函数：
设公司每天的利润为M元，根据利润表和人员分配表，公司每天的总利润可以表示为：
M=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+
600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+
430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+
390*x41+490*x42+240*x43+340*x44
3、约束条件：
（1)各项目的不同技术人员数量约束如下：
1≤x11≤3
2≤x12≤5
x13=2
1≤x14≤2
x21≥2
x22≥2
x23≥2
2≤x24≤8
x31≥2
x32≥2
x33≥2
x34≥1
x41≥1
x42≥3
x43≥1
x44=0
（2）各项目安排的总人员约束如下：
x11+x21+x31+x41≤10
x12+x22+x32+x42≤16
x13+x23+x33+x43≤11
x14+x24+x34+x44≤18
（3）各级别技术人员总数约束如下：
x11+x12+x13+x14≤9
x21+x22+x23+x24≤17
x31+x32+x33+x34≤10
x41+x42+x43+x44≤5
五、模型求解
对于这种整数规划类型的问题，可以用分支定界法来进行求解。但是由于该模型的变量比较多，用分支定界法进行手工求解是比较麻烦的，而lingo软件求解整数规划问题时，正是基于这种方法，所以我们可以借助lingo软件进行求解。编写lingo程序如下：
model:
max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+
600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+
430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+
390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;
x11+x12+x13+x14=9;
x21+x22+x23+x24=17;
x31+x32+x33+x34=10;
x41+x42+x43+x44=5;
x11+x21+x31+x41=10;
x12+x22+x32+x42=16;
x13+x23+x33+x43=11;
x14+x24+x34+x44=18;
x11=1;
x11=3;
x12=2;
x12=5;
x13=2;
x14=1;
x14=2;
x21=2;
x22=2;
x23=2;
x24=2;
x24=8;
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