北京市十一学校2024-2025学年高三下学期4月教学课程教与学诊断数学试题（含解析）.docxVIP

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北京市十一学校2024-2025学年高三下学期4月教学课程教与学诊断数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数是纯虚数，则实数（????）

A．1 B． C． D．0

2．计算（????）

A．1 B．2 C．3 D．6

3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（???）

A． B．

C． D．

4．已知向量，，且，则（???）

A． B． C．6 D．8

5．若两条直线：，：与圆的四个交点能构成正方形，则（???）

A． B． C． D．4

6．已知正项等比数列的前项和为，且，则（???）

A． B．2 C．6 D．4

7．已知是平面上的点，是平面上的点，且，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．聚光式太阳灶（如图1）广泛应用于我国西部农村地区.其轴截面图（如图2）中，点为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点与焦点关于其外沿所在的平面对称.已知、两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径（外沿所在圆的直径）大约为（????）

???

A．1.2米 B．1.4米 C．1.6米 D．1.8米

9．若函数在其定义域内存在?，使得，则称函数具有性质.在函数①，②，③，④中，不具有性质的是（????）

A．②③ B．①④ C．③④ D．①③

10．已知曲线的方程为，下列说法中正确的是（???）

A．曲线C既为轴对称图形，也为中心对称图形

B．若点P和点Q均在曲线C上，则

C．存在，使得直线与曲线C有三个交点

D．存在，直线与曲线C有两个交点

二、填空题

11．不等式的解集为．

12．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则．

13．设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上.则的渐近线方程是；的取值范围是.

14．中，.

（1）若，，则.

（2）若，，写出一个符合条件的长度：.

15．无穷数列前n项和为，且满足：，，，，则下面说法中，所有正确结论的序号是.

①????????②数列有最大值，无最小值

③，使得????④，均有

三、解答题

16．已知底面是平行四边形，平面，，，，且.

(1)求证：平面平面；

(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

17．为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表：

男生

81

84

86

86

88

91

女生

72

80

84

88

92

97

用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题.

(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；

(2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论）

18．已知函数（，）的最小正周期为T.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并回答下面两个问题.

(1)直接写出和的值，并求的对称轴.

(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求m的取值范围.

条件①：的图象可由的图象平移得到；

条件②：在区间上单调递增；

条件③：；

条件④：.

19．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形.

20．已知函数．（注：是自然对数的底数）．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，函数在区间内有唯一的极值点．

①求实数的取值范围；

②求证：在区间内有唯一的零点，且．

21．已知，，，记，用表示有限集合的元素个数.

（I）若，，，求；

（II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；

（III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值.

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《北京市十一学