2025年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（九）数学试题（含解析）.docxVIP

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2025年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（九）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则（????）

A． B．

C． D．

2．（????）

A． B． C． D．

3．设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（????）

A． B． C． D．

4．已知为奇函数，则（????）

A．－4 B．2 C．4 D．6

5．已知等差数列满足，则（????）

A．－3 B．3 C．－12 D．12

6．已知4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（????）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

7．设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（????）

A．12 B．16 C．20 D．24

8．已知三棱锥的体积为3，，，，则（????）

A．3 B．4 C． D．

二、多选题

9．某研究小组在一次实验中记录如下一组10个样本数据：，则（????）

A．这组数据的众数是21

B．这组数据的中位数是31

C．这组数据的第80百分位数是28

D．最左侧4个数据的方差比最右侧4个数据的方差大

10．设函数，则（????）

A．为的极值点 B．当时，有且仅有一个零点

C．若的值域为，则 D．若的定义域为，则

11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（????）

A．的面积为 B．BC边上的高为

C．的最小值为 D．最大值为

三、填空题

12．曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为．

13．已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为．

14．已知函数，若存在唯一的使得，则ω的最小值为．

四、解答题

15．如图，在三棱锥中，平面平面，，，E，M分别为棱，的中点．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的正弦值．

16．某公司在5个月期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：

月份

1

2

3

4

5

广告支出x

2

4

5

8

11

销售额y

10

20

30

40

50

(1)从这5个月中随机抽取三个月份，记销售额高于30万元的月份的个数为X，求随机变量X的分布列及数学期望；

(2)求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．

参考公式：，．

17．记为数列的前n项和，已知，，．

(1)求，；

(2)证明：为等比数列；

(3)求．

18．设抛物线的焦点为，为上位于第一象限的一点，当轴时，．

(1)求的方程；

(2)设为上不与重合的两动点，且直线的斜率之和为0．

（ⅰ）设的纵坐标为，求直线的斜率；

（ⅱ）设外接圆的圆心为，圆在点处的切线为，证明：与有且仅有一个公共点．

19．已知函数存在极值点．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)求b的取值范围并证明；

(3)若且，求a的取值范围．

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《2025年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（九）数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

D

B

B

D

A

D

AD

BCD

题号

11

答案

AD

1．A

【分析】由并集的定义求解即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：A.

2．C

【分析】通过应用复数乘法法则计算即可求解.

【详解】.

故选：C.

3．D

【分析】利用平面向量垂直的条件结合数量积的定义求解夹角即可.

【详解】设与的夹角为，根据题意，可得，

所以，代入，所以，

解得，因为，所以与的夹角为．

故选：D

4．B

【分析】根据函数是奇函数应用定义列式计算求参.

【详解】因为为奇函数，定义域为，

则，

所以，则，

此时，

则，满足题意

故.

故选：B.

5．B

【分析】由等差数列的性质求出，再利用等差数列的通项公式计算即可求解.

【详解】已知是等差数列，，

由等差数列的性质可得，.

因此，，

又因为，，

所以.

故选：B.

6．D

【分析】根据题意先将4位学生分成三组，再分配到A、B、C三地学习，根据分步乘法计数原理即可求解．

【详解】根据题意，先从4人中选2人组成一组，有种方法，

然后将3组学生分配到A、B、C三地学习，有种方法，

由分步计数原理知共有种