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7.2探索平行线的性质

知识点管理

知识点管理

归类探究夯实双基，稳中求进

归类探究

【题型一】两直线平行的性质

平行线的性质

（1）两直线平行,同位角相等。

（2）两直线平行,内错角相等。

（3）两直线平行,同旁内角互补。

【典例1】（2022·广东福田·八年级期末）如图，，交于点，，，则的度数是（）

A．34° B．66° C．56° D．46°

【答案】C

【分析】由余角的定义得出的度数，由两直线平行内错角相等即可得出结论．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴，

故选：C

【点睛】本题考查了平行线的性质和余角，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

变式训练

【变式1-1】（2022·全国·七年级）如图，∠1=∠2，∠3=25°，则∠4等于（）

A．165° B．155° C．145° D．135°

【答案】B

【解析】【分析】设∠4的补角为，利用∠1=∠2求证，进而得到，最后即可求出∠4．

【详解】解：设∠4的补角为，如下图所示：

∠1=∠2，

，

，

．

故选：B．

【点睛】本题主要是考查了平行线的性质与判定，熟练角相等，证明两直线平行，然后利用平行关系证明其他角相等，这是解决该题的关键．

【变式1-2】（2021·四川师范大学附属中学七年级期末）如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若，则_______．

【答案】62°##62度

【分析】如图，根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，再利用平角等于180°，据此求解即可．

【详解】

解：∵纸片两边平行，

∴

由折叠的性质可知，，

∴，

∴=62°．

故答案为：62°．

【点睛】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．

【变式1-3】（2022·云南广南·八年级期末）如图，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为点M、点N，若∠AME＝130°，则∠DNM的度数为（）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【答案】C

【分析】由对顶角得到∠BMN=130°，然后利用平行线的性质，即可得到答案．

【详解】解：由题意，

∵∠BMN与∠AME是对顶角，

∴∠BMN=∠AME=130°，

∵AB∥CD，

∴∠BMN+∠DNM=180°，

∴∠DNM=50°；

故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到∠BMN=130°．

【题型二】利用两直线平行性质求角度

【典例2】（2022·吉林南关·七年级期末）如图，己知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．

阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．

解：∵AB∥DC（），

∴∠B+∠DCB＝180°（）．

∵∠B＝（）（已知），

∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．

∵AC⊥BC（已知），

∴∠ACB＝（）（垂直的定义）．

∴∠2＝（）．

∵AB∥DC（已知），

∴∠1＝（）（）．

∵AC平分∠DAB（已知），

∴∠DAB＝2∠1＝（）（角平分线的定义）．

∵AB∥DC（己知），

∴（）+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．

∴∠D＝180°﹣∠DAB＝．

【答案】见解析．

【分析】先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质即可得．

【详解】解：∵（已知），

∴（两直线平行，同旁内角互补）．

∵（已知），

∴．

∵（已知），

∴（垂直的定义）．

∴．

∵（已知），

∴（两直线平行，内错角相等）．

∵平分（已知），

∴（角平分线的定义）．

∵（己知），

∴（两条直线平行，同旁内角互补）．

∴．

【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的定义、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

变式训练

【变式2-1】（2021·云南·普洱市思茅区第四中学七年级期中）如图，CDAB，点O在直线AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，求∠DOF的度数．

【答案】

【分析】根据平行线的性质求得，根据角平分线和垂直求解即可．

【详解】解：∵

∴

∵OE平分∠BOD

∴

又∵OF⊥OE

∴

∴

故答案为：

【点睛】此题考查了平行线、角平分线以及垂直的性质，解题的关键是掌握并利用它们的性质进行求解．

【变式2-2】（2021·安徽琅琊·七年级期末）如图，，，垂足分别是，，直线分别交，于点，．

（1）和相等的角有__________；

（2）若，求的度数．

【答案】（1），，；（2）

【分析】（1）先证明AB∥MN，即可得到∠EFD=∠EGB，∠EFD=∠AGF，∠AGF=∠CFQ，由此即可得到答案；

（2）先证明AB∥MN，即可得到，则，．

【详解】