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数学：运筹学试题及答案

一、线性规划问题

题目：某工厂生产甲、乙两种产品，生产一个甲产品需要4小时机器加工和2小时手工加工，生产一个乙产品需要2小时机器加工和1小时手工加工。每周机器加工总时数为100小时，手工加工总时数为60小时。每个甲产品的利润为300元，每个乙产品的利润为200元。问：每周应如何安排生产计划以获得最大利润？

答案：

设每周生产甲产品x个，乙产品y个，则目标函数为：

Z=300x+200y

约束条件为：

4x+2y≤100（机器加工时数）

2x+y≤60（手工加工时数）

x,y≥0（非负约束）

将约束条件化为标准形式：

4x+2y+s1=100

2x+y+s2=60

其中，s1,s2为松弛变量。

求解线性规划问题，得到最优解为：x=10,y=20

即每周生产10个甲产品和20个乙产品，最大利润为5000元。

二、非线性规划问题

题目：某企业生产甲、乙两种产品，生产一个甲产品需消耗2单位原材料和3单位劳动力，生产一个乙产品需消耗1单位原材料和1单位劳动力。企业现有原材料100单位，劳动力150单位。甲产品的利润为4元，乙产品的利润为3元。假设生产甲产品数量为x，乙产品数量为y，且生产甲产品数量不超过生产乙产品数量的两倍。求企业如何安排生产计划以获得最大利润？

答案：

设生产甲产品x个，乙产品y个，则目标函数为：

Z=4x+3y

约束条件为：

2x+y≤100（原材料消耗）

3x+y≤150（劳动力消耗）

x≤2y（生产关系）

x,y≥0（非负约束）

求解非线性规划问题，得到最优解为：x=50,y=75

即企业应生产50个甲产品和75个乙产品，最大利润为675元。

三、整数规划问题

题目：某工厂有三个车间，每个车间可以生产甲、乙两种产品。车间1生产一个甲产品需要2小时，生产一个乙产品需要1小时；车间2生产一个甲产品需要1小时，生产一个乙产品需要2小时；车间3生产一个甲产品需要3小时，生产一个乙产品需要1小时。工厂要求每个车间每周至少生产一个产品，且甲产品总产量不少于乙产品总产量。每周车间1有10小时工作时间，车间2有8小时工作时间，车间3有12小时工作时间。甲产品的利润为4元，乙产品的利润为3元。求工厂如何安排生产计划以获得最大利润？

答案：

设车间1生产甲产品x1个，乙产品y1个；车间2生产甲产品x2个，乙产品y2个；车间3生产甲产品x3个，乙产品y3个。则目标函数为：

Z=4(x1+x2+x3)+3(y1+y2+y3)

约束条件为：

2x1+y1≤10（车间1工作时间）

x2+2y2≤8（车间2工作时间）

3x3+y3≤12（车间3工作时间）

x1+x2+x3≥y1+y2+y3（甲产品总产量不少于乙产品总产量）

x1,y1,x2,y2,x3,y3≥1（整数约束）

求解整数规划问题，得到最优解为：x1=4,y1=2；x2=2,y2=3；x3=3,y3=1

即车间1生产4个甲产品，2个乙产品；车间2生产2个甲产品，3个乙产品；车间3生产3个甲产品，1个乙产品。最大利润为52元。