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专题04数列【专项训练】
一、单选题
1．已知数列为等差数列，为前n项和，若，，则（）
A．125 B．115 C．105 D．95
【答案】D
【详解】
设数列的首项为，公差为d，
由题得：，
所以.
2．若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为（）
A．－2 B．1
C．－2或1 D．2或－1
【答案】C
【详解】
当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意；
当q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2.
3．设数列的前项和为，若，，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
在中，令，得，所以．
由得，两式相减得，
即，又，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
4．设等比数列的前项和为，若，则（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
设等比数列的公比为，则，
.
故选：C.
5．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
是等比数列，公比为，由，得，
又，所以，，所以，由解得，
所以，，，
所以．
6．已知数列为等差数列，首项，公差，前n项和，则（）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【详解】
由题意及等差数列前n项和公式，知：，
∴.
故选：C.
7．已知各项均为正数的数列满足，，则的前项和为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，正项数列满足，可得，
设，则，解得或，
因为，所以，所以，
又由，所以数列表示首项为1，公比的等比数列，
所以.
故选：B.
8．拉面是很多食客喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折（对折后面条根数变为原来的2倍），再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是．第一次拉的长度是，共拉了7次，则最后每根长的细丝面条的质量（假定所有细丝面条粗线均匀，质量相等）是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
这团面共拉7次，其中对折了6次，最后所有细丝拉面的总质量是，拉了7次后，共有根长度为的细丝面条，每根这样的面条质量为．
故选：B．
9．用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“k到”左边增加的项数是（）
A．项 B．项 C．项 D．项
【答案】D
【详解】
用数学归纳法证明“（，）”时，由
当时，不等式左边，有项；
当时，不等式左边，有项，
则左边应增加的项数共项，
故选：D
10．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（）
A．978 B．557 C．467 D．979
【答案】A
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.
∵cn=an+bn，
解得，∴cn=2n-1+(1-n).
∴{cn}的前10项和为．
故选：A
二、多选题
11．在数列中，若，则称为“和等比数列”．设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
因为，所以，两式相减得，所以，故A正确，B错误.
，故C正确.D错误.
12．数列为等比数列，公比q1，其前n项和为Sn，若a5﹣a1=15，，则下列说法正确的是（）
A．Sn+1=2Sn+1
B．an=2n
C．数列{log3(Sn+1)}是等比数列
D．对任意的正整数k(k为常数)，数列{log2(Sn+k﹣Sn)}是公差为1的等差数列
【答案】AD
【详解】
因为公比为q1，由
可得，即，
所以4q4﹣15q2﹣4=0，
解得q2=4，
所以，所以，，
所以，Sn+1=2n，
所以log3(Sn+1)=nlog32，
所以数列{log3(Sn+1)}是等差数列，对任意的正整数n，k，Sn+k﹣Sn=2n+k﹣2n=(2k﹣1)2n，
所以log2(Sn+k﹣Sn)=n+log2(2k﹣1)，
所以数列{log2(Sn+k﹣Sn)}是公差为1的等差数列，
故选：AD
13．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（）
A．d＜0 B．a16＜0
C．Sn≤S15 D．当且仅当Sn＜0时n≥32
【答案】ABC
【详解】
解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝S20，
∴10a1+45d＝20a1+190d，
∴2a1+29d＝0，
∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；
∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，
∵d＜0，∴a15＞a16，
∴a15＞0，a16＜0，故B正确；
∴Sn≤S15，故C
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