教学建议三角恒等变换.docVIP

第四课三角恒等变换

[巩固层·知识整合]

[提升层·题型探究]

三角函数式求值

【例1】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(2,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2018π,3)－2α))＝()

A．－eq\f(17,25) B．－eq\f(7,8)

C.eq\f(17,25) D.eq\f(7,8)

(2)4cos50°－tan40°等于()

A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)

C.eq\r(3) D．2eq\r(2)－1

(3)已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

(1)C(2)C[(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2018π,3)－2α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))

＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))

＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))2

＝eq\f(17,25).

(2)4cos50°－tan40°

＝eq\f(4sin40°cos40°－sin40°,cos40°)

＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)

＝eq\f(2sin?50°＋30°?－sin40°,cos40°)

＝eq\f(\r(3)sin50°＋cos50°－sin40°,cos40°)

＝eq\f(\r(3)sin50°,cos40°)＝eq\r(3).]

(3)[解]tanα＝tan[(α－β)＋β]

＝eq\f(tan?α－β?＋tanβ,1－tan?α－β?tanβ)＝eq\f(1,3)＞0.

而α∈(0，π)，故α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

∵tanβ＝－eq\f(1,7)，0＜β＜π，∴eq\f(π,2)＜β＜π，

∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝eq\f(1,2)＞0，

∴－π＜α－β＜－eq\f(π,2)，

∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．

∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]

＝eq\f(tanα＋tan?α－β?,1－tanαtan?α－β?)＝1，

∴2α－β＝－eq\f(3π,4).

三角函数的求值有三种类型：

?1?给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题.

?2?给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝?α＋β?－β，2α＝?α＋β?＋?α－β?等.把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论

?3?给值求角：实质上是“给值求值”，一般规律是先求出待求角的某一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后求出角.选择三角函数时尽量选择给定区间上单调的函数名称，以便于角的确定，例如，若所求角的范围是，选择求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范围是?0，π?，选择求所求角的余弦值；若所求角的范围为，选择求所求角的正弦值.

eq\o([跟进训练])

1．已知－eq\f(π,2)＜x＜0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).

(1)求sin2x和cosx－sinx的值；

(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．

[解](1)由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得1＋sin2x＝eq\f(1,25)，所以sin2x＝－eq\f(24,25)，因为－eq\f(π,2)＜x＜0，所以cosx＞sinx，

所以cosx－sinx＝eq\r(,1－2sinxcosx)＝eq\f(7,5).

(2)eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋2sin2x,1－\f(sinx,cosx))

＝eq\f(2sinx?cosx＋sinx?,\f(cosx－sinx,cosx))＝sin2x·eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)

＝－eq\f(24,25)×eq\f(1,7)＝－eq\f(24,175).

三角函数式化简