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上海高东中学八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

一、压轴题

1．阅读并填空：

如图，是等腰三角形，，是边延长线上的一点，在边上且联接交于，如果，那么，为什么？

解：过点作交于

所以（两直线平行，同位角相等）

（________）

在与中

所以，（________）

所以（________）

因为（已知）

所以（________）

所以（等量代换）

所以（________）

所以

2．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；

（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；

（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．

3．直角三角形中，，直线过点．

（1）当时，如图1，分别过点和作直线于点，直线于点，与是否全等，并说明理由；

（2）当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，点是上一点，点是上一点，分别过点作直线于点，直线于点，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒，当为等腰直角三角形时，求的值．

4．在中，，，是的角平分线，于点.

（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；

（2）如图2，点是线段上的一点（不与点重合），以为一边，在下方作，交延长线于点.求证：；

（3）如图3，点是线段上的点，以为一边，在的下方作，交延长线于点.直接写出，与数量之间的关系.

5．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线，，上，，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：

（1）小明说：我只需要过B、C向作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB的长.

（2）小林说：“我们可以改变的形状.如图2，，，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长.”

（3）小谢说：“我们除了改变的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC三个顶点分别落在三条平行线，，上，且与之间的距离为1，与之间的距离为2，求AB的长、”

请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB的长度.

6．在中，，是直线上一点，在直线上，且．

（1）如图1，当D在上，在延长线上时，求证：；

（2）如图2，当为等边三角形时，是的延长线上一点，在上时，作，求证：；

（3）在（2）的条件下，的平分线交于点，连，过点作于点，当，时，求的长度．

7．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．

（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．

①求证：∠1＝∠2；

②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；

（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．

8．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE的数量关系．

操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．

类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．

9．如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且．

（1）如图1，过点作交于点，求证：；

（2）如图2，连结交于点，若，，求证：点为中点．

（3）当点在射线上，连结与直线交于点，若，，则______．（直接写出结果）

10．在△ABC中，已知∠A＝α．

（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．

①当α＝70°时，∠BDC度数＝度（直接写出结果）；

②∠BDC的度数为（用含α的代数式表示）；

（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．

（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠G