第3章线性方程组的解.pptVIP

第1页，共33页，星期日，2025年，2月5日第3章线性方程组的解3.1问题的提出3.2简单迭代3.3紧凑迭代3.4松弛迭代3.5高斯消去法目录第2页，共33页，星期日，2025年，2月5日3.1问题的提出在化工设计和计算中常常要用到线性方程组，尽管线性方程组不是解决问题的关键，但不通过线性方程组的求解，整个化工设计和计算问题就无法得到解决。下面我们来看一个有关精馏塔计算中碰到的线行方程组求解问题。在精馏塔计算中，根据物料平衡、能量平衡、相平衡等建立了MESH方程后，首先要解决的是根据ME方程，计算出各塔板上的各组分的浓度。根据建立的ME方程，经过处理，我们可以得到以下线性方程组：Bi,1xi,1+Ci,1xi,2=D1Ai,2xi,1+Bi,2xi,2+C2xi,3=D2Ai,3xi,2+Bi,3xi3+Ci,3xi,4=D3Ai,jxi,j-1+Bi,jxij+Ci,jxi,j+1=DjAi,N-1xi,N-2+Bi,N-1xi,N-1+Ci,N-1xi,N=DN-1AiNxi,N-1+Bi,NxiN=DN3.13.23.33.43.5第3页，共33页，星期日，2025年，2月5日3.1问题的提出用迭代法求解线性方程组AX=t时,首先对方程组AX=t进行等价变换，构造同解方程组X=MX+y，以此构造迭代关系式：任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列X(1),X(2),……。若迭代序列{X(k+1)}收敛，设{X(k)}的极限为X*,对迭代两边取极限即X*=MX*+y，X*是方程组AX=t的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。线性方程组迭代收敛的充分必要条件是迭代谱半经：其中X是矩阵M的特征根。事实上，若X为方程组AX=t的解，则由迭代式X(k+1)=MX(k)+t，可得到：由线性代数定理，的充分必要条件为（M）1。3.13.23.33.43.5第4页，共33页，星期日，2025年，2月5日3.1问题的提出通过计算矩阵的范数等方法判断收敛工作的方法。首先设若||M||P为矩阵M的范数，其中：只要迭代矩阵M满足或，就可以判断迭代序列是收敛的。但这个条件是充分条件，也就是说，当或,不能判断迭代序发散。在计算中当相邻两次的误差向量的某种范数||X(k+1)–X(k)||P小于给定的精度时，在计算机计算中通常利用前后两次计算中各分量的绝对偏差或其相对值小于计算精度，就停止迭代计算，视X(k+1)为方程组AX=t的近似解。3.13.23.33.43.5第5页，共33页，星期日，2025年，2月5日3.2简单迭代3.2.1简单迭代公式设有N元线性方程组:写成矩阵形式为AX=t。若aii0,i=1,2,…..n,将（3-1）中的每个方程的aiixi留在方程的左边，其余各项都移到方程的右边；方程两边除以aii,则得到下面同解方程组：3.13.23.33.43.5第6页，共33页，星期日，2025年，2月5日3.2简单迭代3.2.1简单迭代公式记，构造迭代公式：当迭代矩阵B的谱半径时，迭代收敛，这是收敛的充分必要条件。迭代矩阵的某范数时，迭代收敛。要注意的是范数小于1只是判断迭代矩阵收敛的充分条件.3.13.23.33.43.5第7页，共33页，星期日，2025年，2月5日3.2简单迭代3.2.1简单迭代公式当方程组的系数矩阵具有某些性质时，可直接判定由它生成的简单迭代矩阵是收敛的。其条件如下：（1）为行对角优阵，即，。（2）为列对角优阵，即,。以上两个条件只要满足一个，简单迭代过程就收敛。3.13.23.33.43.5第8页，共33页，星期日，2025年，2月5日3.2简单迭代3.