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一元二次函数性质教学设计与练习

一元二次函数是中学数学的核心内容之一，它不仅承接了一次函数的学习方法，更为后续更高次函数、解析几何等内容的学习奠定了重要基础。掌握一元二次函数的性质，不仅意味着能够理解其代数表达式与几何图像之间的深刻联系，更在于能够运用这些性质解决现实生活中的实际问题，培养学生的数学抽象、逻辑推理与数学建模能力。本文将从教学设计与配套练习两个维度，探讨如何帮助学生系统、深入地理解和掌握一元二次函数的性质。

一、教学设计

（一）教学目标

1.知识与技能：学生能够准确叙述一元二次函数的定义；会用描点法画出一元二次函数的图像；能根据函数解析式（一般式、顶点式、交点式）确定图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值以及增减性；理解并能初步应用二次函数的性质解决简单的数学问题和实际问题。

2.过程与方法：通过对具体二次函数图像的绘制与观察，引导学生经历“观察——猜想——验证——归纳”的数学活动过程，体会数形结合、从特殊到一般的思想方法，提升学生的自主探究能力和合作交流能力。

3.情感态度与价值观：在探究二次函数性质的过程中，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神；通过解决实际问题，让学生感受数学的实用价值，增强应用意识。

（二）教学重难点

*教学重点：一元二次函数的图像特征（开口方向、顶点、对称轴）；函数的基本性质（最值、增减性）；三种形式解析式（一般式、顶点式、交点式）的特点及其相互转化。

*教学难点：从函数图像中归纳提炼性质；理解并运用二次函数的性质解决综合性问题及实际应用中的最值问题；理解二次项系数a对函数图像和性质的影响。

（三）教学过程设计

1.温故知新，自然引入

*活动1：回顾已学过的函数类型（如正比例函数、一次函数），提问：这些函数的解析式有什么共同特点？图像是什么形状？（引导学生回忆“数”与“形”的联系）

*活动2：展示一些生活中的抛物线实例（如投篮轨迹、拱桥、喷泉等），提问：这些曲线能否用我们学过的一次函数来刻画？引出新的函数类型——二次函数。

*设计意图：通过复习旧知，为新知学习搭建桥梁；通过生活实例，激发学习兴趣，让学生感受学习二次函数的必要性。

2.概念辨析，夯实基础

*活动1：给出二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做一元二次函数。强调“a≠0”的重要性。

*活动2：概念辨析练习：判断下列函数是否为二次函数，并说明理由。（设计一些含a=0、最高次数不是2等情况的辨析题）

*设计意图：准确理解概念是研究性质的前提，通过辨析加深对定义核心要素的把握。

3.图像探究，性质归纳

*第一阶段：探究y=ax2的图像与性质

*活动1：学生分组，分别画出y=x2，y=2x2，y=-x2，y=-1/2x2的图像。（教师引导列表、描点、连线，强调画图的规范性）

*活动2：小组讨论，观察所画图像，思考：图像是什么形状？开口方向如何？顶点在哪里？对称轴是什么？当x变化时，y的值如何变化？a的符号和绝对值对图像有何影响？

*师生共同归纳：抛物线的概念，a0开口向上，a0开口向下；顶点是原点(0,0)，对称轴是y轴；a的绝对值越大，开口越窄，反之越宽。

*第二阶段：探究y=ax2+k与y=a(x-h)2的图像与性质

*活动1：对比y=x2与y=x2+2，y=x2-3的图像（可利用几何画板动态演示），引导学生发现图像的平移规律（上下平移），顶点坐标、对称轴的变化，开口方向、形状不变。

*活动2：对比y=x2与y=(x-2)2，y=(x+1)2的图像，引导学生发现图像的平移规律（左右平移），顶点坐标、对称轴的变化，开口方向、形状不变。

*归纳：y=ax2+k的图像是由y=ax2上下平移|k|个单位得到（k0上移，k0下移），顶点(0,k)，对称轴y轴。y=a(x-h)2的图像是由y=ax2左右平移|h|个单位得到（h0右移，h0左移），顶点(h,0)，对称轴x=h。

*第三阶段：探究y=a(x-h)2+k（顶点式）的图像与性质

*活动1：综合前两阶段的平移，引导学生得出y=a(x-h)2+k的图像可由y=ax2经过平移得到，其顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h。

*活动2：讨论该形式下函数的最值：当a0时，函数有最小值y=k；当a0时，函数有最大值y=k。以及函数在对称轴