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(新)平面向量知识点梳理(2篇)

平面向量知识点梳理（一）

一、平面向量的基本概念

1.向量的定义

向量是既有大小又有方向的量。在数学中，我们通常用有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。例如，在物理学中，力、位移等都是向量。与向量相对的是数量，数量只有大小，没有方向，像温度、质量等就是数量。

2.向量的表示方法

几何表示：用有向线段\(\overrightarrow{AB}\)表示，其中\(A\)为起点，\(B\)为终点。有向线段的长度\(\vert\overrightarrow{AB}\vert\)表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

字母表示：可以用小写字母\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)等表示向量。在印刷时，常用黑体字母\(a,b,c\)表示向量；在书写时，要在字母上方加上箭头，如\(\vec{a}\)。

3.向量的模

向量\(\vec{a}\)的大小叫做向量的模，记作\(\vert\vec{a}\vert\)。对于向量\(\overrightarrow{AB}\)，其模\(\vert\overrightarrow{AB}\vert\)就是有向线段\(\overrightarrow{AB}\)的长度。若向量\(\vec{a}=(x,y)\)（在平面直角坐标系中），则\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。例如，向量\(\vec{a}=(3,4)\)，则\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)。

4.特殊向量

零向量：长度为\(0\)的向量叫做零向量，记作\(\vec{0}\)。零向量的方向是任意的。

单位向量：长度等于\(1\)个单位的向量叫做单位向量。对于任意非零向量\(\vec{a}\)，与它同方向的单位向量记作\(\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)。例如，已知向量\(\vec{a}=(2,0)\)，\(\vert\vec{a}\vert=2\)，则与\(\vec{a}\)同方向的单位向量\(\vec{e}=(\frac{2}{2},0)=(1,0)\)。

5.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)相等，记作\(\vec{a}=\vec{b}\)。相等向量经过平移后可以完全重合。例如，在平行四边形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，因为它们的长度相等且方向相同。

6.相反向量

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量\(\vec{a}\)的相反向量记作\(-\vec{a}\)。零向量的相反向量仍是零向量。例如，若\(\vec{a}=(1,-2)\)，则\(-\vec{a}=(-1,2)\)。

7.平行向量（共线向量）

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)平行，记作\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)。规定零向量与任意向量平行。平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上。

二、平面向量的线性运算

1.向量的加法

三角形法则：已知非零向量\(\vec{a},\vec{b}\)，在平面内任取一点\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{b}\)，则向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和，记作\(\vec{a}+\vec{b}\)，即\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则。

平行四边形法则：以同一点\(O\)为起点的两个已知向量\(\vec{a},\vec{b}\)为邻边作平行四边形\(OACB\)，则以\(O\)为起点的对角线\(\overrightarrow{OC}\)就是\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和。这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

运算律

交换律：\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)。

结合律：\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)。

2.向量的减法

向量\(\vec{a}\)减去向量\(\vec{