第四章 线性方程组的迭代解法.pptVIP

注：（1）式说明，只要||B||不是很接近1，当X(k+1)和X(k)很接近时，X(k)也越接近X*，故可用||X(k+1)-X(k)||中止迭代。（2）式说明，||B||越小，X(k)收敛越快，可作误差估计式。第29页，共47页，星期日，2025年，2月5日例3.判别下列方程组用Jacobi法和Gauss-Seidel法求解是否收敛:解:(1)求Jacobi法的迭代矩阵第30页，共47页，星期日，2025年，2月5日所以即Jaobi迭代法收敛。(2)求Gauss-Seidel法的迭代矩阵：显然BJ的几种常用算子范数||BJ||1，故用其特征值判断。第31页，共47页，星期日，2025年，2月5日所以Gauss-Seidel迭代法发散。注：在例1和例2中,Gauss-Seidel迭代法收敛速度比Jacobi迭代法要高，但例3却说明Gauss-Seidel迭代法发散时而Jacobi迭代法却收敛，因此,不能说Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法更好。可得故第32页，共47页，星期日，2025年，2月5日定义设A=(aij)n×n?Rn×n，若 (i=1,2,…,n)则称A为对角占优矩阵，若不等式严格成立，则称A为严格对角占优矩阵。迭代法收敛的其他结论：定理若Ax=b中A为严格对角占优矩阵，则Jacobi迭代和Gauss－Seidel迭代均收敛。证明：因为系数矩阵A严格对角占优，所以第33页，共47页，星期日，2025年，2月5日电子科技大学生命学院陈第四章线性方程组的迭代解法第1页，共47页，星期日，2025年，2月5日迭代法的基本思想Jacobi迭代和Gauss－Seidel迭代迭代法的收敛性超松弛迭代第四章线性方程组的迭代解法第2页，共47页，星期日，2025年，2月5日4.1迭代法的基本思想：例：求解方程组其精确解是x*=(3,2,1)T。现将原方程组改写为简写为x=B0x+f，其中第3页，共47页，星期日，2025年，2月5日任取初始值，如取x(0)=(0,0,0)T，代入x=B0x+f右边，若等式成立则求得方程组的解，否则，得新值x(1)=(x1(1),x2(1),x3(1))T=(2.5,3,3)T，再将x(1)代入，反复计算，得一向量序列{x(k)}和一般的计算公式（迭代公式）：简写为x(k+1)=B0x(k)+fk=0,1,2,……x(10)=(3.000032,1.999838,0.999813)T迭代到第10次时有||ε(10)||∞=||x(10)–x*||=0.000187第4页，共47页，星期日，2025年，2月5日定义：（1）对于给定方程组x=Bx+f，用迭代公式x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,……)逐步代入求近似解的方法称迭代法；（2）若k?∞时limx(k)存在（记为x*），称此迭代法收敛，显然x*就是方程组的解，否则称迭代法发散；（3）B称为迭代矩阵。问题：?如何建立迭代格式？?收敛速度？?向量序列的收敛条件？?误差估计？第5页，共47页，星期日，2025年，2月5日设Ax=b，A非奇异，且对角元不为零，将原方程组改写为4.2Jacobi迭代与Gauss－Seidel迭代4.2.1Jacobi迭代法第6页，共47页，星期日，2025年，2月5日又代入，反复继续，得迭代格式：称Jacobi迭代法。选取初始向量代入上面方程组右端得第7页，共47页，星期日，2025年，2月5日Jacobi迭代法的矩阵表示：第8页，共47页，星期日，2025年，2月5日故计算公式为：(i=1,2,……,n)，(k=0,1,2,……表迭代次数)矩阵表示：第9页，共47页，星期日，2025年，2月5日则BJ=I-D-1A =D-1(L+U)，fJ=D-1b，称BJ为Jacobi迭代矩阵。（aii≠0）将方程组Ax＝b的系数矩阵A分解为：A=D-L-U第10页，共47页，星期日，2025年，2月5日例1:用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过10-4。解:第11页，共47页，星期日，2025年，2月5日第12页，共47页，星期日，2025年，2月5日第13页，共47页，星期日，2025年，2月5日依此类推,得方程组满足精度的解为x12迭代次数：12次x4=3.02411.94780.9205d=0.1573