1.1测度与可测函数.pptVIP

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2025-10-30 发布于北京
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1.1测度与可测函数.ppt

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第一章实变函数初步;第一节直线上点集的勒贝格测度与可测函数;一、点集的勒贝格测度与可测集;2.直线上非空有界开集与有界闭集的测度;定义4设G为直线R上的有界开集(即?(a,b)?G),(ai,bi)(i?I)为G的构成区间，则定义m(G)=?(bi–ai)(0m(G)b-a);定义6（确界）设A?R使非空数集。

（1）如果存在一个实数?，满足：

1）?x?A，有x??；2）??0,?x0???

则称?为A的上确界,记作：;3.直线上一般有界点集的勒贝格（Lebesgue)测度;注:;定理3设X=(a,b)是基本集(有界),E,Ei?X(i=1,2,…)均为有界可测集,则有

EC=X-E、E1?E2、E1?E2、E1-E2、?Ei、?Ei均可测，且;1)若E1?E2?…?Ek?…,则E=?Ek可测,m(E)=limm(Ek);例1有限集是有界闭集,其测度为零.;5.几个值得注意的问题;2）L可测集类与波赖尔(Borel)集;二、点集上的勒贝格可测函数;2.函数可测的充分必要条件;例5定义在R上连续函数都是L可测函数.;例6区间[0,1]上的狄里克来函数D(x)是L可测函数.;例7定义在零测集E上的任何函数f(x)都是L可测函数.;例8集E的特征函数?E(x)是R上的可测函数.;三、函数列的收敛性问题;1)在处处收敛的定义中,N=N(x,?)不但与?有关,而且与x点有关，即便对于同一个?,当x不同时,求出的N也不相同.;fn(x)=xn;在点集E上,函数列{fn(x)}一致收敛于f(x);定理7(连续性)设{fn(x)}是E上的连续函数列.如果{fn(x)}在E上一致收敛于f(x),则极限函数f(x)也在E上连续.;推论设{fn(x)}是区间[a,b]上的可积函数列.如果{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x),则极限函数f(x)在区间[a,b]上可积.且;3可测函数列的几乎处处收敛、依测度收敛及近一致收敛;???0,limm(E{x??fn(x)-f(x)???})=0;定理10设{fn(x)}是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列,f(x)是定义在E上的几乎处处有限的可测函数,且limfn(x)=f(x)(a.e.),则;谢谢大家！