第八讲函数的奇偶性与周期性.pptVIP

【例3】(1)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)?f(x)=1,对于任意x∈R恒成立,且f(x)0,则f(2011)=________;(2)(2011·江西模拟)已知函数y=f(x),(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则函数y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为________.14第29页，共56页，星期日，2025年，2月5日[解析](1)∵f(x+2)?f(x)=1知f(x+2)=∴f(x+4)∴f(x)是以4为周期的函数.f(2011)=f(3)=f(-1),又当x=-1时f(1)?f(-1)=1,而f(x)为偶函数,∴[f(-1)]2=1,又f(x)0,∴f(-1)=1,即:f(2011)=1.第30页，共56页，星期日，2025年，2月5日(2)由f(x+1)=f(x-1),得f(x)=f(x+2),则函数f(x)是以2为周期的函数,作出y=f(x)与y=log5x的图象(如图),可知函数y=f(x)与y=log5x的图象交点个数为4.第31页，共56页，星期日，2025年，2月5日[点评]抽象函数的周期性往往是以三角函数为模型设计的,故研究抽象函数的周期性时,可联想三角函数的性质?公式等,运用类比的思想,分析抽象函数的周期性.第32页，共56页，星期日，2025年，2月5日变式3:已知偶函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),当x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,则f(116.5)=________.解析:由f(x+3)=-f(x)知f(x+6)=-f(x+3)=f(x),故f(x)为周期函数,6为f(x)的一个周期,故f(116.5)=f(2.5).又f(x)为偶函数,∴f(2.5)=f(-2.5)=2×(-2.5)=-5.答案:-5第33页，共56页，星期日，2025年，2月5日【例4】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(1)求f(0)的值;(2)证明:函数f(x)是周期函数;(3)若f(x)=x(0x≤1),求x∈R时,函数f(x)的解析式,并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象.第34页，共56页，星期日，2025年，2月5日[解](1)∵函数f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),令x=0,则f(0)=-f(0),即2f(0)=0,∴f(0)=0.第35页，共56页，星期日，2025年，2月5日(2)∵函数f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)①又f(x)关于直线x=1对称,∴f(x)=f(2-x)②由①②得,-f(-x)=f(2-x),换-x为x,则f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=f[2+(2+x)]=-f(2+x)=-[-f(x)]=f(x),故f(x)是以4为周期的周期函数.第36页，共56页，星期日，2025年，2月5日(3)∵f(x)=x,0x≤1,∴当-1≤x0时,0-x≤1,∴f(-x)=-x.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x,f(x)=x,又f(0)=0,当-1≤x≤1时,f(x)=x,当1x≤3时,f(x)=-x+2,第37页，共56页，星期日，2025年，2月5日第38页，共56页，星期日，2025年，2月5日[点评](1)周期函数问题,在考题中常有两类表现形式:一类是研究三角函数的周期性;一类是研究抽象函数的周期性.抽象函数的周期常常应用定义f(T+x)=f(x)给予证明,证明时多从中心对称?轴对称所产生的数学等式出发,推导满足周期定义的等式,从而证明函数为周期函数的同时求出周期.(2)根据函数周期性,可求某区间上解析式,画出某区间上图象或求某一函数值.第39页，共56页，星期日，2025年，2月5日变式4:已知偶函数f(x)满足y=f(x+1)为奇函数,当x∈[0,1]时f(x)=2x,则f(2011.5)=________.第40页，共56页，星期日，2025年，2月5日第*页第*页第1页，共56页，星期日，2025年，2月5日教材知识整合回归教材第2页，共56页，星期日，2025年，2月5日1.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数,若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数,如果一个函数f(x)是奇函数或是偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数就是