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递推试题及答案
一、单选题
1.已知数列{a_n}中，a_1=1，a_n=a_n-1+2n，则a_5的值为（）（2分）
A.25B.27C.29D.31
【答案】C
【解析】根据递推公式，a_2=a_1+2×2=5，a_3=a_2+2×3=11，a_4=a_3+2×4=19，a_5=a_4+2×5=29。
2.在数列{b_n}中，b_1=2，b_n=b_n-1+n，则b_4的值为（）（2分）
A.10B.12C.14D.16
【答案】D
【解析】根据递推公式，b_2=b_1+2=4，b_3=b_2+3=7，b_4=b_3+4=11。
3.若数列{c_n}满足c_1=3，c_n=c_n-1+n^2，则c_3的值为（）（2分）
A.15B.21C.27D.33
【答案】B
【解析】根据递推公式，c_2=c_1+2^2=7，c_3=c_2+3^2=21。
4.已知数列{d_n}中，d_1=5，d_n=d_n-1+n^3，则d_2的值为（）（2分）
A.15B.25C.35D.45
【答案】B
【解析】根据递推公式，d_2=d_1+1^3=6。
5.在数列{e_n}中，e_1=4，e_n=e_n-1+n^2+1，则e_3的值为（）（2分）
A.18B.24C.30D.36
【答案】C
【解析】根据递推公式，e_2=e_1+2^2+1=11，e_3=e_2+3^2+1=19。
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下哪些是递推数列的性质？（）
A.数列中的每一项都依赖于前一项或前几项
B.数列中的每一项都可以通过一个固定的公式直接计算
C.数列中的项数是有限的
D.数列中的项数是无限的
E.数列中的项可以是负数
【答案】A、D、E
【解析】递推数列的特点是数列中的每一项都依赖于前一项或前几项，项数可以是无限的，项可以是负数。
2.递推数列的常见应用包括哪些？（）
A.计算数列中的特定项
B.分析数列的长期行为
C.解决实际问题中的增长或衰减问题
D.构造新的数列
E.证明数列的收敛性
【答案】A、B、C、D
【解析】递推数列可以用于计算特定项，分析长期行为，解决增长或衰减问题，以及构造新的数列。
三、填空题
1.在递推数列{f_n}中，f_1=2，f_n=f_n-1+3n，则f_4=______（4分）
【答案】20
【解析】根据递推公式，f_2=f_1+3×2=8，f_3=f_2+3×3=17，f_4=f_3+3×4=29。
2.若递推数列{g_n}满足g_1=1，g_n=g_n-1+n(n+1)，则g_3=______（4分）
【答案】12
【解析】根据递推公式，g_2=g_1+2×3=7，g_3=g_2+3×4=12。
四、判断题
1.递推数列的每一项都可以通过递推公式直接计算出来。（）（2分）
【答案】（×）
【解析】递推数列的每一项依赖于前一项或前几项，通常需要逐步计算才能得到。
2.所有的递推数列都是等差数列。（）（2分）
【答案】（×）
【解析】递推数列不一定是等差数列，等差数列是一种特殊的递推数列，其递推公式为a_n=a_{n-1}+d。
五、简答题
1.简述递推数列的定义及其特点。（5分）
【答案】递推数列是一种数列，其中每一项都依赖于前一项或前几项的值。递推数列的特点是数列中的每一项都可以通过递推公式计算出来，数列的项数可以是有限的也可以是无限的，数列中的项可以是正数也可以是负数。
2.递推数列在实际问题中有哪些应用？（5分）
【答案】递推数列在实际问题中有很多应用，例如计算数列中的特定项，分析数列的长期行为，解决实际问题中的增长或衰减问题，以及构造新的数列等。
六、分析题
1.已知数列{h_n}中，h_1=1，h_n=h_n-1+n^2，试分析数列的前五项，并描述数列的增长趋势。（10分）
【答案】根据递推公式，h_2=h_1+1^2=2，h_3=h_2+2^2=6，h_4=h_3+3^2=15，h_5=h_4+4^2=31。数列的增长趋势是随着项数的增加，数列的项值迅速增大。
七、综合应用题
1.某城市的人口增长可以用递推数列来描述。假设某年初该城市的人口为100万，每年人口增长率为5%。试用递推公式表示该城市人口的变化，并计算5年后的人口数量。（20分）
【答案】设该城市人口为p_n，则递推公式为p_n=p_{n-1}×1.05。初始条件为p_1=100万。根据递推公式，p_2=100万×1.05=105万，p_3=105万×1.05=110.25万，p_4=110.25万×1.05=115.76万，p_5=115.76万×1.05=121.55万。5年后该城市的人口为121.55万。
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标准答案：
一、单选题
1.C
2.D
3.B
4.B
5.C
二、多选题
1.A、D、E
2.A、B、C、D
三、
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