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初中数学函数专题教学设计及练习

函数，作为初中数学的核心内容之一，不仅是代数知识的延伸与深化，更是培养学生抽象思维、逻辑推理和解决实际问题能力的重要载体。它如同一个桥梁，连接着具体的数字运算与抽象的模型构建，也为高中阶段更复杂的数学学习奠定基石。本专题教学设计旨在引导学生从具体实例出发，逐步理解函数的基本概念，掌握一次函数与反比例函数的图像和性质，并能运用函数知识解决简单的实际问题。

一、教学目标

（一）知识与技能

1.理解函数的概念，能识别生活中的函数关系，会确定简单函数中自变量的取值范围，并能求出函数值。

2.掌握一次函数（包括正比例函数）的表达式、图像特征和基本性质（如增减性、与坐标轴的交点等）。

3.掌握反比例函数的表达式、图像特征和基本性质（如所在象限、增减性等）。

4.能够根据已知条件确定一次函数和反比例函数的表达式。

5.初步学会运用函数的图像和性质解决简单的实际问题，体会函数的应用价值。

（二）过程与方法

1.通过对实际问题的分析、抽象与概括，经历函数概念的形成过程，体会从具体到抽象的数学思想。

2.在探究一次函数和反比例函数图像与性质的过程中，培养学生观察、分析、归纳和动手操作的能力，渗透数形结合、分类讨论和转化的数学思想。

3.在运用函数知识解决实际问题的过程中，提高学生建立数学模型的能力和应用意识。

（三）情感态度与价值观

1.通过函数与现实生活的联系，感受数学的实用性，激发学习数学的兴趣。

2.在探究活动中，体验成功的喜悦，培养克服困难的勇气和信心。

3.培养学生严谨的治学态度和合作交流的精神。

二、教学重点与难点

（一）教学重点

1.函数的概念及其表达方式（解析法、列表法、图像法）。

2.一次函数的表达式、图像及其性质。

3.运用函数知识解决简单的实际问题。

（二）教学难点

1.函数概念的理解，特别是对“两个变量”、“唯一确定”等核心要素的把握。

2.一次函数图像的性质与表达式中系数（k,b）之间的关系。

3.从实际问题中抽象出函数关系，建立数学模型。

三、教学过程设计

本专题建议安排若干课时，可根据学生具体情况调整。以下为主要环节设计思路：

（一）函数概念的引入与深化

1.情境创设：

*展示生活中的变化现象：如一天中气温的变化、汽车行驶路程与时间的关系、购买商品的总价与数量的关系等。

*引导学生观察这些变化过程中存在的两个变量，以及它们之间的依存关系。

2.概念形成：

*从具体实例中抽象出常量、变量的概念。

*通过对比、归纳，引出函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

*重点辨析：“每一个确定的值”、“唯一确定的值”。可以设计一些辨析题，让学生判断哪些关系是函数关系。

3.函数的表示方法：

*解析法：用数学式子表示函数关系（如y=2x+1）。强调自变量的取值范围（使表达式有意义，或符合实际意义）。

*列表法：通过表格列出部分自变量与函数值的对应关系。

*图像法：用坐标系中的图形表示函数关系。初步渗透数形结合思想。

（二）一次函数的图像与性质

1.一次函数的定义：

*形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

*当b=0时，即y=kx（k≠0），叫做正比例函数，是特殊的一次函数。

2.一次函数的图像：

*作图：引导学生通过“列表、描点、连线”的步骤画出简单的一次函数图像（如y=2x,y=x+1,y=-x+2等）。

*观察归纳：一次函数的图像是一条直线。因此，画一次函数图像时，只需确定两个点，再过这两点画直线即可（通常取与坐标轴的交点）。

3.一次函数的性质：

*k的作用：引导学生观察不同k值（正、负）的一次函数图像，归纳k对函数图像的走向（上升、下降）和增减性的影响。

*当k0时，y随x的增大而增大，图像从左到右上升。

*当k0时，y随x的增大而减小，图像从左到右下降。

*b的作用：引导学生观察k值相同，b值不同的一次函数图像，归纳b对函数图像与y轴交点位置的影响。

*当b0时，图像与y轴交于正半轴。

*当b=0时，图像经过原点。

*当b0时，图像与y轴交于负半轴。

*综合应用：能根据k和b的符号，大致判断函数图像的位置；反之，能根据图像位置判断k和b的符号。

4.确定一次函数的表达式：

*方法：待定系数法。知道图像上两个点的坐标，代入y=kx+b，得到关于k,b的方程组，求解即可。

*强调：两个独立条件确定一个一次函数。

（三）反比例