第13讲：函数的方程与零点问题【9个题型】-A4.docxVIP

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【第13讲：函数的方程与零点问题】

总览

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题型梳理

一．求函数的零点（共3小题）

二．由函数的零点求解函数或参数（共5小题）

三．判定函数零点的存在性（共2小题）

四．由函数零点所在区间求解函数或参数（共10小题）

五．求解方程根的存在性和分布（共9小题）

六．由方程根的分布求解函数或参数（共3小题）

七．二分法求函数零点的近似值（共4小题）

八．二分法求方程的近似解（共4小题）

九．函数与方程的综合运用（共10小题）

【知识点清单】

1．求函数的零点

【知识点的认识】

一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．

【解题方法点拨】

解法﹣﹣二分法

①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；

④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）

2．由函数的零点求解函数或参数

【知识点的认识】

一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．

【解题方法点拨】

解法﹣﹣二分法

①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；

④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）

3．判定函数零点的存在性

【知识点的认识】

1、函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．

特别提醒：

（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．

（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．

（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．

【解题方法点拨】

函数零点个数的判断方法：

（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

特别提醒：

①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；

②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．

4．求解方程根的存在性和分布

【知识点的认识】

函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．

【解题方法点拨】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．

5．二分法求函数零点的近似值

【知识点的认识】

二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）?f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1=a+b2时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，

【解题方法点拨】

﹣选择初始区间：选择[a，b]使得f(a)?f(b)＜0．

﹣迭代步骤：计算区间中点c=a+b2，判断f（

﹣终止条件：当区间长度足够小时，停止迭代，近似值即为中点c．

﹣计算过程：按照二分法步骤逐步逼近零点．

6．二分法求方程的近似解

【知识点的认识】

二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）?f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1=a+b2时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，

【解题方法点拨】

﹣选择初始区间：选择[a，