湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期第一次（10月）质量检测数学（原卷版）.docxVIP

雅礼中学2025年高二下学期10月质量检测

数学试卷

时量：120分钟分值：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数满足，则（）

A. B. C. D.

2.已知椭圆的方程为，则椭圆的离心率为（???）

A. B. C. D.

3.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

A. B.

C. D.

4.已知直线一个方向向量为，其倾斜角为，则（）

A. B. C. D.

5.已知的方差为3，则的方差为（）

A.6 B.7 C.12 D.18

6.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（）

A. B. C. D.6

7.“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.已知正方体的棱长为，空间中的点满足：，其中，且，则点的轨迹的长度为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知圆锥顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（）

A.该圆锥母线长为 B.该圆锥的体积为

C.该圆锥的侧面积为 D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为

10.下列说法正确的是（）

A.若直线与直线平行，则

B.，都有原点在圆外

C.一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为

D.圆与圆的公切线恰有2条

11.已知，则（）

A. B.的最大值为26

C.的最小值是 D.的最大值是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知是相互独立事件，且，则_____．

13.直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是______．

14.已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为_____．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）求样本成绩的平均数和众数；

（3）用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率．

16.已知，，分别是的内角，，的对边，且.

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长.

17.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

18.已知过定点的直线被圆截得的弦长为．

（1）求直线的方程．

（2）线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线．

（i）求曲线方程；

（ii）已知点为直线上一动点，过点作曲线两条切线，切点分别为、，判断直线是否过定点?求出该定点，并说明理由；

19.已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形．

（1）求椭圆标准方程；

（2）已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值；

（3）分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围．