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2025年四川省数学（理科）专升本考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)f(b)0，则在区间(a,b)内至少存在一点c，使得（）

A.f(c)=0

B.f(c)=1

C.f(c)=1

D.f(c)=2

答案：A

解析：根据零点定理，如果一个连续函数在区间(a,b)的两端点取值异号，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=0。

2.已知函数y=f(x)在x=1处可导，且f(1)=2，f(1)=1，则lim（x→1）[f(x)f(1)]/x1等于（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：根据导数的定义，lim（x→1）[f(x)f(1)]/x1=f(1)=2。

3.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则矩阵A的行列式值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：行列式值为1423=46=2，故选B。

4.设函数y=x^33x，求函数的极值点。

A.x=1,x=1

B.x=0,x=2

C.x=2,x=2

D.x=1,x=3

答案：A

解析：求导得到y=3x^23，令y=0，解得x=1,x=1。再求二阶导数y=6x，分别代入x=1和x=1，得到y(1)=60，y(1)=60，故x=1和x=1分别为极大值点和极小值点。

5.若lim（x→0）(sinxx)/x^3=A，则A等于（）

A.1

B.1

C.0

D.2

答案：B

解析：利用泰勒展开，sinx≈xx^3/6+O(x^5)，代入原式得到lim（x→0）[(xx^3/6x)/x^3]=lim（x→0）[x^3/6]/x^3=1/6，故选B。

6.已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的单调增区间。

A.(∞,0)

B.(1,+∞)

C.(∞,1)

D.(0,+∞)

答案：B

解析：求导得到f(x)=2x+2，令f(x)0，解得x1，故单调增区间为(1,+∞)。

7.设函数f(x)=e^x，求f(x)的n阶导数。

A.f^(n)(x)=e^x

B.f^(n)(x)=e^xn!

C.f^(n)(x)=e^xx^n

D.f^(n)(x)=e^xx^nn!

答案：B

解析：根据e^x的泰勒展开，f(x)的n阶导数为f^(n)(x)=e^xn!。

8.设向量组α1,α2,α3线性无关，β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1，则下列说法正确的是（）

A.β1,β2,β3线性相关

B.β1,β2,β3线性无关

C.β1,β2,β3线性相关，但不能由α1,α2,α3线性表示

D.β1,β2,β3线性无关，且能由α1,α2,α3线性表示

答案：B

解析：由于α1,α2,α3线性无关，根据线性相关的定义，如果存在不全为零的常数k1,k2,k3，使得k1β1+k2β2+k3β3=0，则β1,β2,β3线性相关。将β1,β2,β3表示为α1,α2,α3的线性组合，得到k1α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0。由于α1,α2,α3线性无关，故k1=k2=k3=0，因此β1,β2,β3线性无关。

二、填空题（每题5分，共30分）

1.函数f(x)=x^33x^2+4在x=1处的切线方程为_________。

答案：y=2x+1

解析：f(x)=3x^26x，f(1)=3，f(1)=2，切点为(1,2)，切线方程为y2=3(x1)，即y=2x+1。

2.已知lim（x→0）(sinxx)/x^3=A，则A的值为_________。

答案：1/6

解析：同选择题第5题。

3.若函数y=f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)f(b)0，则在区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=_________。

答案：0

解析：同选择题第1题。

4.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则矩阵A的行列式值为_________。

答案：2

解析：同选择题第3题。

5.设函数f(x)=e^x，