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2025年专升本天津市高数一练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x1，求f(x)的零点个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：B

解析：f(x)=3x^26x+2，令f(x)=0，得3x^26x+2=0。根据韦达定理，方程有两个实根，故f(x)的零点个数为2个。

2.函数y=x^2e^x在x=0处的二阶导数为（）

A.2

B.1

C.0

D.2

答案：C

解析：y=2xe^x+x^2e^x，y=2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x=4xe^x+x^2e^x+2e^x。将x=0代入y，得y(0)=2。

3.设函数y=ln(x+1)，求x=0时y的泰勒展开式的前三项（）

A.xx^2/2+x^3/3

B.x+x^2/2x^3/3

C.xx^2/2x^3/3

D.x+x^2/2+x^3/3

答案：A

解析：y=ln(x+1)在x=0处的泰勒展开式为y=xx^2/2+x^3/3+...。

4.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)在区间[π,π]上的最大值（）

A.1

B.√2

C.1

D.√2

答案：B

解析：f(x)=cos(x)sin(x)，令f(x)=0，得cos(x)=sin(x)。在区间[π,π]上，解得x=π/4。将x=π/4代入f(x)，得f(π/4)=√2。

5.设数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2+n，求极限lim(n→∞)(a_n/n^2)（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：lim(n→∞)(a_n/n^2)=lim(n→∞)[(n^2+n)/n^2]=lim(n→∞)[1+1/n]=2。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^33x^2+2x1的单调递增区间为________。

答案：(∞,1)∪(2,+∞)

2.函数y=e^xcos(x)的一阶导数为________。

答案：e^x(cos(x)sin(x))

3.数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2+n，求和S_n=________。

答案：n(n+1)(2n+1)/6

4.函数f(x)=x^2e^x在x=0处的二阶导数为________。

答案：2

5.极限lim(x→0)(sin(x)/x)=________。

答案：1

三、解答题（共50分）

1.（15分）已知函数f(x)=x^33x^2+2x1，求f(x)的单调性和极值。

答案：f(x)=3x^26x+2，令f(x)=0，得x=1或x=2/3。f(x)在(∞,2/3)和(1,+∞)上为正，故f(x)在这两个区间上单调递增；f(x)在(2/3,1)上为负，故f(x)在这个区间上单调递减。f(2/3)=5/27为极大值，f(1)=1为极小值。

2.（15分）求函数f(x)=x^2e^x在x=0处的泰勒展开式。

答案：f(x)=x^2e^x在x=0处的泰勒展开式为f(x)=x^2+2x+2+...。

3.（20分）设数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2+n，求和S_n。

答案：S_n=n(n+1)(2n+1)/6。