第三讲对坐标的曲面积分.pptVIP

第三讲对坐标的曲面积分第1页，共20页，星期日，2025年，2月5日

曲面的侧双侧曲面单侧曲面曲面在坐标面上的投影?S在xOy面上的投影(?S)xy为第2页，共20页，星期日，2025年，2月5日

对坐标的曲面积分的定义设?为光滑的有向曲面?函数R(x?y?z)在?上有界?把?任意分成n块小曲面??S1??S2??????Sn(?Si也代表曲面面积)??Si在xOy面上的投影为(?Si)xy?(?i,?i,?i)是?Si上任意取定的一点?若极限总存在?则称此极限为函数R(x?y?z)在有向曲面?上对坐标x、第3页，共20页，星期日，2025年，2月5日

对坐标的曲面积分的定义函数R(x?y?z)在有向曲面?上对坐标x、y的曲面积分?函数P(x?y?z)在有向曲面?上对坐标y、z的曲面积分?函数Q(x?y?z)在有向曲面?上对坐标z、x的曲面积分?上述曲面积分也称为第二类曲面积分?其中P、Q、R叫做被积函数??叫做积分曲面?第4页，共20页，星期日，2025年，2月5日

对坐标的曲面积分的简写形式在应用上出现较多的是为简便起见?这种合起来的形式简记为第5页，共20页，星期日，2025年，2月5日

对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质?(1)如果把S分成S1和S2?则(2)设S是有向曲面?S?表示与S取相反侧的有向曲面?则第6页，共20页，星期日，2025年，2月5日

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讨论?如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？设积分曲面?由方程z?z(x?y)给出的??在xOy面上的投影区域为Dxy?函数z?z(x?y)在Dxy上具有一阶连续偏导数?被积函数R(x?y?z)在?上连续?则有其中当?取上侧时?积分前取“?”?当?取下侧时?积分前取“?”?应注意的问题:(3)曲面S取哪一侧.(2)向哪个坐标面投影;(1)曲面S用什么方程表示;(4)积分前取什么符号.二、计算第8页，共20页，星期日，2025年，2月5日

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注意:对坐标的曲面积分与所取的侧有关。第10页，共20页，星期日，2025年，2月5日

方体?的整个表面的外侧???{(x?y?z)|0?x?a?0?y?b?0?z?c}?把?的上下面分别记为?1和?2?前后面分别记为?3和?4?左右面分别记为?5和?6?解除?3、?4外?其余四片曲面在yOz面上的投影为零?因此第11页，共20页，星期日，2025年，2月5日

方体?的整个表面的外侧???{(x?y?z)|0?x?a?0?y?b?0?z?c}?把?的上下面分别记为?1和?2?前后面分别记为?3和?4?左右面分别记为?5和?6?解除?3、?4外?其余四片曲面在yOz面上的投影为零?因此?a2bc?类似地可得于是所求曲面积分为(a?b?c)abc?第12页，共20页，星期日，2025年，2月5日

外侧在x?0?y?0的部分?把有向曲面?分成上下两部分?解?1和?2在xOy面上的投影区域都是Dxy?x2?y2?1(x?0?y?0)?第13页，共20页，星期日，2025年，2月5日

例第14页，共20页，星期日，2025年，2月5日

练习解第15页，共20页，星期日，2025年，2月5日

第16页，共20页，星期日，2025年，2月5日

第17页，共20页，星期日，2025年，2月5日

两类曲面积分的联系第18页，共20页，星期日，2025年，2月5日

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例解第20页，共20页，星期日，2025年，2月5日