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实数与向量相乘及向量的线性运算（基础）知识讲解

责编:康红梅

【学习目标】

1.理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律；

2.对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量；

3.认识两个平行向量的代数表达形式；

4.在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系.

【要点梳理】

要点一、实数与向量相乘

1.实数与向量相乘的意义：



nnn

一般地，设为正整数，为向量，我们用na表示个相加；用表示个相

aa−

na−a

nn

m

加.又当为正整数时，a表示与a同向且长度为a的向量.

mm

要点诠释：

aaaa

设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长

度进行放缩，但方向相反.

2.向量数乘的定义



一般地，实数k与向量a的相乘所得的积是一个向量，记作ka，它的长度与方向规定

如下：



（1）如果k≠0,且a≠0时，则：



①ka的长度：|ka|=|k||a|；②ka的方向：当k0时，ka与a同方向；当k0



时，ka与a反方向；





（2）如果k=0,或a=0时，则：ka=0，ka的方向任意.



实数k与向量a相乘，叫做向量的数乘.

要点诠释：

（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；

（2）实数与向量不能进行加减运算；



（4）ka表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表

示向量的箭头写在数字上面；

（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.

3.实数与向量的相乘的运算律：

设m、n为实数，则：



（1）m(na)=(mn)a（结合律）；

Multiplicationofrealnumbersandvectorsandlinearoperationsofvectors

(basics)knowledgeexnation

Editor:Kang