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最短路径问题教学设计与案例分析

引言

最短路径问题是几何学中的经典议题，不仅在理论层面蕴含着丰富的数学思想，更在现实生活中有着广泛的应用。从日常的路线规划到工程设计中的优化方案，无不渗透着对“最短”的追求。在数学教学中，引导学生探究和解决最短路径问题，不仅能帮助他们深化对几何图形性质的理解，更能培养其空间想象能力、逻辑推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力。本文旨在结合教学实践，探讨最短路径问题的教学设计思路，并通过具体案例进行深入分析，以期为一线教学提供有益的参考。

一、最短路径问题的教学设计思路

（一）教学目标的确立

1.知识与技能：使学生理解“两点之间线段最短”的基本原理，并能运用这一原理解决简单的平面内最短路径问题；掌握利用轴对称、平移等几何变换将复杂最短路径问题转化为基本模型的方法；初步学会在不同几何情境（如三角形、四边形、圆、立体图形表面）中分析和寻求最短路径。

2.过程与方法：引导学生经历“观察—猜想—验证—应用—拓展”的探究过程，体验从具体问题抽象出数学模型的思想；培养学生运用转化与化归思想解决问题的能力，以及动手操作、合作交流、归纳总结的能力。

3.情感态度与价值观：通过解决富有挑战性的问题，激发学生的学习兴趣和求知欲；感受数学与生活的密切联系，体会数学的严谨性和结论的确定性；培养学生克服困难、勇于探索的精神。

（二）教学重点与难点

*教学重点：“两点之间线段最短”原理的理解与应用；利用轴对称变换解决“将军饮马”等经典最短路径问题的思想方法。

*教学难点：如何引导学生将实际问题或复杂几何图形中的最短路径问题转化为可利用基本原理解决的数学模型；在立体图形表面上寻求最短路径时，如何实现空间问题向平面问题的转化。

（三）教学方法与教学准备

*教学方法：情境教学法、问题驱动法、探究式学习法、小组合作法相结合。通过创设问题情境激发学生思考，通过层层设问引导学生深入探究，通过小组合作促进思想碰撞，通过教师点拨帮助学生突破难点。

*教学准备：多媒体课件（包含动态演示、问题呈现）、直尺、圆规、透明纸（用于图形变换操作）、立体模型（如圆柱体、长方体）。

（四）教学过程设计

1.情境导入，激发兴趣：

*展示生活中的最短路径实例（如地图上两地间的最短路线、公园里游客选择的捷径等），提问：“为什么人们会倾向于选择这样的路线？”引导学生初步感知“最短”的概念。

*引出数学史上或经典的最短路径问题典故（如“将军饮马”问题的雏形），激发学生的探究欲望。

2.新知探究，合作发现：

*复习回顾：明确“两点之间，线段最短”这一基本事实，为后续探究奠定基础。

*问题探究1（无约束条件）：给出简单图形（如直线、三角形、四边形），求两点之间的最短路径。引导学生直接应用基本原理解决。

*问题探究2（有约束条件——“将军饮马”原型）：提出问题：“如图，一位将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营，怎样走路线最短？”

*引导学生画图分析，讨论路线的可能情况。

*组织学生利用透明纸进行翻折（轴对称变换）操作，或通过几何画板动态演示，观察点的对称关系。

*引导学生发现：通过作其中一点关于直线（河岸）的对称点，将折线问题转化为直线问题，从而利用“两点之间线段最短”解决。

*总结方法：“对称—连接—最短”，提炼转化思想。

3.变式拓展，深化理解：

*变式1：两定点在直线同侧，求直线上一点到两定点距离之和最短。（强化轴对称方法）

*变式2：两定点在直线异侧，求直线上一点到两定点距离之差最大。（逆向思维，深化对称应用）

*变式3：在角的内部有一定点，在角的两边各找一点，使三点构成的三角形周长最短。（多次对称）

*引导学生在解决变式问题的过程中，不断巩固和深化对轴对称变换应用的理解，体会“万变不离其宗”的思想。

4.模型建构，方法总结：

*引导学生归纳解决平面内最短路径问题（含直线约束）的常用策略：

*直接应用“两点之间线段最短”。

*利用轴对称、平移等变换，将分散的条件集中，将折线问题转化为直线问题。

*强调转化思想是解决最短路径问题的核心。

5.立体延伸，挑战思维：

*提出问题：“如何在圆柱体（或长方体）侧面上，求蚂蚁从A点爬到B点的最短路径？”

*引导学生思考：立体图形表面的路径如何转化为平面图形上的路径？（展开）

*组织学生动手操作：将圆柱体侧面展开成平面矩形，将长方体侧面展开成不同的平面图形。

*应用平面内最短路径的解决方法，求出展开图中两点间的线段长，并比较不同展开方式下的结果，确定最短路径。

*总结：将立体图形表面“展开”为平面图形