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初中数学三角形专题导学案

同学们，三角形是我们平面几何世界中最基本、也是最重要的图形之一。从我们生活中的屋顶结构、自行车架，到宏伟的建筑设计，乃至精密的机械零件，都离不开三角形的身影。它不仅简单，而且蕴含着丰富的性质和规律。今天，我们就一同深入探索三角形的奥秘，掌握它的基本特性，并学会运用这些知识解决实际问题。

一、知识回顾与引入

在开始我们的专题学习之前，让我们先回顾一下已经学过的与三角形相关的基本概念：

*三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

*三角形的构成元素：

*顶点：三角形中每两条线段的交点，通常用大写字母表示，如点A、点B、点C。

*边：组成三角形的三条线段，通常用顶点对应的小写字母表示，如边a、边b、边c，或者用两个顶点的字母表示，如边AB、边BC、边CA。

*角：三角形相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。可以用“∠”符号加上顶点字母表示，如∠A、∠B、∠C。

思考与讨论：我们生活中哪些物体的形状包含了三角形？为什么很多结构要设计成三角形呢？（引出三角形的稳定性，这是后续可以深入探讨的性质）

二、三角形的基本性质

2.1三角形的三边关系

我们知道，不是任意三条线段都能首尾顺次相接组成三角形的。那么，三角形的三条边之间存在着怎样的数量关系呢？

探究活动：

1.请同学们准备长度分别为3cm、4cm、5cm的三根小木棒，尝试能否组成一个三角形。

2.再准备长度分别为1cm、2cm、4cm的三根小木棒，尝试能否组成一个三角形。

3.记录你的结果，并思考：能组成三角形的三条线段，它们的长度之间有什么共同特点？不能组成的，又有什么特点？

总结归纳：

三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。

推论：三角形任意两边之差小于第三边。

数学表达：对于任意三角形ABC，若其三边分别为a、b、c，则有：

a+bc

a+cb

b+ca

以及

a-b

a-c

b-c

理解与应用：

这个定理告诉我们，已知三角形的两边，第三边的长度是有范围的。例如，若三角形的两边长分别为3和5，则第三边x的取值范围是：5-3x5+3，即2x8。

例题解析：

例1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

(1)3，4，8(2)5，6，11(3)5，6，10

解答：

(1)因为3+4=78，不满足两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。

(2)因为5+6=11，等于第三边，也不满足（必须是大于），所以不能组成三角形。

(3)因为5+6=1110，5+10=156，6+10=165，且10-5=56，10-6=45，6-5=110，均满足，所以能组成三角形。

2.2三角形的内角和定理

我们已经知道，三角形有三个内角。那么，这三个内角的度数之和是多少呢？

探究活动：

1.任意画一个三角形，用量角器分别测量出三个内角的度数，并计算它们的和。

2.把你画的三角形的三个内角剪下来，拼一拼，看看能不能拼成一个平角。

总结归纳：

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

数学表达：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。

思考与证明：

除了度量和拼接，你能运用我们学过的平行线的性质来证明这个定理吗？（提示：可以过三角形的一个顶点作一边的平行线）

证明思路参考：

过点A作直线EF平行于BC。

∵EF∥BC

∴∠EAB=∠B（两直线平行，内错角相等）

∠FAC=∠C（两直线平行，内错角相等）

∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°（平角定义）

∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）

即三角形内角和为180°。

内角和定理的应用：

已知三角形中两个角的度数，可以求出第三个角的度数。

例如，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°-30°-60°=90°。

三、三角形的分类

我们可以按照三角形的边和角的不同特征，对三角形进行分类。

3.1按角分类

*锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于90°）的三角形。

*直角三角形：有一个角是直角（即90°）的三角形。夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。

*性质：直角三角形的两个锐角互余（因为内角和180°，减去90°直角，剩下两个锐角和为90°）。

*钝角三角形：有一个角是钝角（即大于90°且小于180°）的三角形。

思考：一个三角形中最多能有几个直角？最多能有几个钝角？为什么？

3.2按