第14章分离变量法.pptVIP

*第30页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第31页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第32页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第33页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第34页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第35页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第36页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第37页，共52页，星期日，2025年，2月5日第1页，共52页，星期日，2025年，2月5日分离变量法的基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。(1)叠加原理：几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)叠加原理对于用线性方程描述的物理现象来说都是成立的。(数学上)*第2页，共52页，星期日，2025年，2月5日线性定解问题的叠加性质L称为算符，偏微分方程可用算符表示：非齐次方程L[u]=f(x,y,z,t)齐次方程L[u]=01.算符*第3页，共52页，星期日，2025年，2月5日2.线性算符的性质则其组合u2是齐次方程的解L[u2]=0L[u1]=f1)分别是齐次方程的解2)是非齐次方程的解则是非齐次方程的解:*第4页，共52页，星期日，2025年，2月5日例如驻波的形成：两列反向行进的同频率的波的叠加。u1=Acos(?t-kx)，u2=Acos(?t+kx)可以形成u=u1+u2=2Acos(2?t)cos(2kx)←时间变量与空间变量分离的驻波：u(x,t)=X(x)T(t)可以把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就可以保证尝试解的正确性(2)分离变量法的特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。(3)分离变量法的适用范围：波动、输运、稳定场问题等(比行波法等适用范围要广)*第5页，共52页，星期日，2025年，2月5日泛定方程：边界条件：初始条件：猜想：对于确定的频率，解是驻波：研究两端固定的弦的自由振动定解问题波腹波节每一点绕平衡位置振动振幅随位置变化驻波解：这是解的分离变量*第6页，共52页，星期日，2025年，2月5日1、分离变量带入方程中，分离过程：得出两个常微分方程：带入边界条件：2、本征值问题：本征值方程*第7页，共52页，星期日，2025年，2月5日二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：其中p,q为常数写出特征方程的两个根*第8页，共52页，星期日，2025年，2月5日(1)(2)(3)非零解C2是积分常数求解本征值问题*第9页，共52页，星期日，2025年，2月5日n=1,2,3……解方程所以有特解：A、B是积分常数通解：本征振动的线性叠加*3.求特解并写出通解的形式第10页，共52页，星期日，2025年，2月5日初始条件：AnDnBnCn第11页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第12页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第13页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第14页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第15页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第16页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第17页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第18页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第19页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第20页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第21页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第22页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第23页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第24页，共52页，星期日，2025年，2月5日*（自学）第25页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第26页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第27页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第28页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第29页，共52页，星期日，2025年，2月5日