复变函数课案积分变换第讲.pptVIP

例４、求微分积分方程的解，其中均为常数。*第62页，共112页，星期日，2025年，2月5日第二章Laplace变换Fourier变换的两个限制：*第63页，共112页，星期日，2025年，2月5日§1Laplace变换的概念*第64页，共112页，星期日，2025年，2月5日tf(t)Otf(t)u(t)e-btO*第65页，共112页，星期日，2025年，2月5日1.定义：*第66页，共112页，星期日，2025年，2月5日例1求单位阶跃函数根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)0时收敛,而且有*第67页，共112页，星期日，2025年，2月5日例2求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).这个积分在Re(s)k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为Re(s)Re(k)根据拉氏变换的定义,有*第68页，共112页，星期日，2025年，2月5日2.拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足:

(1)在t?0的任一有限区间上分段连续;

(2)当t???时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M0及c?0,使得

|f(t)|?Mect,0?t??

则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)c上一定存在,并且在Re(s)c的半平面内,F(s)为解析函数.*第69页，共112页，星期日，2025年，2月5日MMectf(t)tO*第70页，共112页，星期日，2025年，2月5日说明：由条件2可知,对于任何t值(0?t??),有

|f(t)est|=|f(t)|e-bt?Me-(b-c)t,Re(s)=b,

若令b-c?e0(即b?c+e=c1c),则

|f(t)e-st|?Me-et.所以注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下);注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.*第71页，共112页，星期日，2025年，2月5日§2Laplace变换的性质与计算本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为c.在证明性质时不再重述这些条件.*第72页，共112页，星期日，2025年，2月5日例3求f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换同理可得*第73页，共112页，星期日，2025年，2月5日2.微分性质:此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.特别当时，有*第74页，共112页，星期日，2025年，2月5日例4求的拉氏变换（m为正整数）。*第75页，共112页，星期日，2025年，2月5日象函数的微分性质:例5求(k为实数)的拉氏变换.*第76页，共112页，星期日，2025年，2月5日3.积分性质:例6求的拉氏变换.*第77页，共112页，星期日，2025年，2月5日象函数积分性质:则*第78页，共112页，星期日，2025年，2月5日例7求函数的拉氏变换.*第79页，共112页，星期日，2025年，2月5日*第30页，共112页，星期日，2025年，2月5日tf(t)*第31页，共112页，星期日，2025年，2月5日2.2单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.*第32页，共112页，星期日，2025年，2月5日在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则当t?0时,i(