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人教版八年级下册数学平行四边形知识点总结

平行四边形是平面几何中最基本也最重要的图形之一，它不仅自身拥有丰富的性质，也是学习后续特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的基础。掌握平行四边形的定义、性质及判定方法，对培养几何直观和逻辑推理能力至关重要。本文将对人教版八年级下册数学中有关平行四边形的核心知识点进行系统梳理与总结。

一、平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

这个定义包含两个核心要素：一是“四边形”，即它是一个平面图形，由四条线段首尾顺次连接而成；二是“两组对边分别平行”，这是平行四边形最本质的特征，也是判断一个四边形是否为平行四边形的原始依据。我们通常用符号“?”来表示平行四边形，例如平行四边形ABCD可记作“?ABCD”。

二、平行四边形的性质

平行四边形作为一种特殊的四边形，除了具有四边形的一般性质（如内角和为360°）外，还具有以下独特的性质：

（一）边的性质

1.平行四边形的对边平行且相等：在?ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且AB=CD，AD=BC。

这一性质揭示了平行四边形对边之间的双重关系——位置关系（平行）和数量关系（相等），是证明线段平行或相等的重要依据。

（二）角的性质

1.平行四边形的对角相等：在?ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。

2.平行四边形的邻角互补：在?ABCD中，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，依此类推。

对角相等与邻角互补其实是“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，内错角相等”的直接应用。

（三）对角线的性质

1.平行四边形的对角线互相平分：在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则OA=OC，OB=OD。

对角线互相平分是平行四边形非常重要的性质，它意味着平行四边形的两条对角线将彼此二等分，交点O是两条对角线的中点。这一性质在涉及线段中点、三角形全等的证明中应用广泛。

（四）对称性

平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点。

理解这一点有助于我们从图形变换的角度认识平行四边形，其绕对称中心旋转180°后能够与自身重合。

三、平行四边形的判定

判定一个四边形是否为平行四边形，除了依据其定义外，还有以下几条重要的判定定理：

（一）定义判定法

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（这是最基本、最直接的判定方法）

（二）边的判定

1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形：若一个四边形的两组对边分别相等，则该四边形为平行四边形。

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：若一个四边形的一组对边平行且长度相等，则该四边形为平行四边形。（“平行且相等”通常用符号“∥=”表示）

（三）角的判定

1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形：若一个四边形的两组对角分别相等，则该四边形为平行四边形。

（四）对角线的判定

1.对角线互相平分的四边形是平行四边形：若一个四边形的两条对角线互相平分，则该四边形为平行四边形。

在运用这些判定定理时，需要注意仔细审题，根据题目所给条件，选择最合适、最简洁的判定方法。有时，可能需要结合三角形全等的知识来辅助证明。

四、平行四边形的面积

平行四边形的面积等于其一边（通常称为“底”）与该边上的高的乘积。

即：面积S=底×高（S=a×h）

这里的“高”是指从底的对边向底边所作的垂线段的长度。需要注意的是，计算面积时，底和高必须是相对应的，即高是底边上的高。

五、知识拓展与解题技巧

1.平行线间的距离处处相等：夹在两条平行线间的平行线段相等，两条平行线间的距离处处相等。这一结论常与平行四边形的性质结合使用。

2.辅助线添加技巧：在解决与平行四边形相关的几何问题时，常见的辅助线作法是连接平行四边形的对角线，将平行四边形问题转化为三角形问题来解决，利用三角形全等的性质来证明线段或角的关系。

3.方程思想的应用：在涉及平行四边形边长、角度或面积的计算时，若某些未知量之间存在数量关系，可设未知数，根据平行四边形的性质列出方程求解。

4.平行四边形与特殊平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们不仅具有平行四边形的所有性质，还各自具有独特的性质。理解它们之间的包含关系和演变关系（如：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形），有助于构建完整的知识体系。

总结

平行四边形是平面几何的入门与基石，其定义、性质和判定是学好后续复杂几何图形的基础。在学习过程中，要注重理解概念的本质，掌握性质与判定的联系与区别，并能灵活运用它们解决实际问题。通过多做练习，积累解题经验，培养观察、分析和推理能力，才能真正做到融会贯通，为后续的几何学习打下坚实的基础。