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经典截长补短法巧解

在平面几何的解题宝库中，截长补短法无疑是一把处理线段和差关系的利器。它并非特指某一种固定不变的技巧，而是一种转化思想的具体体现——当题目中出现诸如“线段a+线段b=线段c”或类似的和差关系时，我们常常通过“截长”或“补短”的手段，将复杂的线段关系转化为两条线段相等的简单情形，进而利用全等三角形等知识加以解决。这种方法的巧妙之处在于，它能够化繁为简，将看似分散的条件集中起来，从而打开解题的突破口。

一、截长法：化整为零，构造全等

截长法，顾名思义，是在较长的线段上截取一段，使其等于两条较短线段中的一条，然后证明剩下的部分等于另一条较短线段。其核心思想是将一条较长的线段分割成两部分，通过构造全等三角形，将原本需要证明的和差关系转化为证明两条线段相等。

核心思路：已知线段c最长，且c=a+b。在c上截取一段等于a，然后证明剩余部分等于b。

操作策略：

1.明确目标线段：识别出题目中需要证明关系的三条线段，并确定哪条是“长线段”，哪两条是“短线段”。

2.实施截取：在长线段上，以一个端点为起点，截取一段长度等于其中一条短线段。

3.构造全等：连接特定的点，构造出一对全等三角形，使得截取后剩余的线段与另一条短线段成为全等三角形的对应边。

4.证明结论：通过证明三角形全等，得出剩余线段与另一条短线段相等，从而原命题得证。

例题解析：

已知，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于点D。

求证：AB+BD=AC。

分析：题目要求证AB+BD=AC，AC为较长线段。我们可以考虑在AC上截取AE=AB，然后证明EC=BD。

证明：在AC上截取AE=AB，连接DE。

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD。

在△ABD和△AED中，

AB=AE，

∠BAD=∠EAD，

AD=AD，

∴△ABD≌△AED(SAS)。

∴BD=ED，∠B=∠AED。

∵∠B=2∠C，∠AED=∠C+∠EDC，

∴2∠C=∠C+∠EDC，

∴∠EDC=∠C。

∴ED=EC。

∵BD=ED，∴BD=EC。

∵AC=AE+EC，AE=AB，

∴AC=AB+BD。证毕。

此例中，通过在AC上“截长”AE=AB，成功构造了全等三角形，将BD“转移”到DE，再利用等角对等边证明DE=EC，从而实现了线段和差关系的证明。

二、补短法：聚零为整，创造条件

与截长法相对应，补短法则是通过延长两条较短线段中的一条，使其与另一条短线段拼接成一条新的线段，然后证明这条新线段等于较长的线段。它的核心思想是将两条短线段“合并”成一条，再证明这条合并后的线段与长线段相等。

核心思路：已知线段c最长，且c=a+b。可以延长线段a，使延长部分等于b，然后证明延长后的总长度等于c；或者延长线段b，使延长部分等于a，然后证明延长后的总长度等于c。

操作策略：

1.明确目标线段：同样需要先识别长线段与短线段。

2.实施延长：选择一条短线段，延长它，使得延长出去的部分等于另一条短线段的长度。

3.构造全等：连接相关点，构造全等三角形，将合并后的新线段与长线段置于全等的背景下。

4.证明结论：通过证明三角形全等，得出合并后的线段与长线段相等。

例题解析：

仍以上述例题为例，我们尝试用补短法来证明：在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：AB+BD=AC。

分析：要证AB+BD=AC，我们也可以延长AB至点E，使BE=BD，然后证明AE=AC。

证明：延长AB至点E，使BE=BD，连接DE。

∴∠E=∠BDE。

∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E，

又∵∠ABC=2∠C，

∴∠E=∠C。

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。

在△AED和△ACD中，

∠E=∠C，

∠EAD=∠CAD，

AD=AD，

∴△AED≌△ACD(AAS)。

∴AE=AC。

∵AE=AB+BE，BE=BD，

∴AE=AB+BD。

∴AB+BD=AC。证毕。

此例中，通过延长AB至E，使BE=BD，将AB与BD“补短”合并为AE，再构造全等三角形证明AE=AC，同样达成了证明目标。可以看出，对于同一问题，截长与补短往往是可以互通的两种思路。

三、截长补短的共性与运用要点

无论是截长还是补短，其根本目的都是构造全等三角形，通过等量代换将线段的和差关系转化为线段的等量关系。它们共同体现了几何证明中“转化”与“构造”的重要思想。

在具体运用时