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2025年山西专升本数学（理科）考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.已知函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.函数在x=1处取得极小值

B.函数在x=1处取得极大值

C.函数在x=1处取得极小值

D.函数在x=1处取得极大值

答案：C

解析：求导得f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。再求二阶导数f(x)=6x，可知f(1)=60，故函数在x=1处取得极小值。

2.设函数y=2x^33x^2+4在x=a处取得极值，则a的取值范围是（）

A.a1

B.a=1

C.a1

D.a≠1

答案：A

解析：求导得y=6x^26x，令y=0，得x=0或x=1。由于x=1时，y的符号改变，故a1。

3.已知函数y=x^2+k在区间[0,3]上的最大值为9，则k的取值范围是（）

A.k≤3

B.k≤6

C.k≥3

D.k≥6

答案：D

解析：函数y=x^2+k在区间[0,3]上是单调递增的，最大值出现在x=3处，即9+k=9，解得k=0。由于最大值为9，故k≥6。

4.设函数f(x)=x^33x+2，下列结论正确的是（）

A.函数在x=0处取得极小值

B.函数在x=0处取得极大值

C.函数在x=1处取得极小值

D.函数在x=1处取得极大值

答案：C

解析：求导得f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=0或x=1。再求二阶导数f(x)=6x，可知f(1)=60，故函数在x=1处取得极小值。

5.若函数f(x)=x^2+k在区间[0,3]上的最小值为0，则k的取值范围是（）

A.k≤9

B.k≤6

C.k≥9

D.k≥6

答案：B

解析：函数f(x)=x^2+k在区间[0,3]上是单调递增的，最小值出现在x=0处，即k=0。由于最小值为0，故k≤6。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^24x+3的极值点是_________。

答案：x=2

2.设函数y=ax^2+bx+c在区间[0,2]上的最大值为4，最小值为2，且a0，则a+b+c=_________。

答案：2

3.函数f(x)=x^33x+1在x=1处的切线方程是_________。

答案：y=3x+4

4.设函数f(x)=x^33x+2，则f(x)在区间[0,2]上的最大值为_________。

答案：4

5.函数y=x^2+k在区间[0,3]上的最大值为9，则k=_________。

答案：6

三、解答题（每题25分，共75分）

1.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调区间和极值。

答案：f(x)的单调递增区间为(∞,1)和(1,+∞)，单调递减区间为(1,1)。极小值点为x=1，极小值为f(1)=1；极大值点为x=1，极大值为f(1)=1。

2.设函数y=x^2+k在区间[0,3]上的最大值为M，最小值为m，且Mm=6，求k的值。

答案：由题意，M=9+k，m=k。因此，9+kk=6，解得k=3。

3.已知函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的单调区间和极值。

答案：f(x)的单调递增区间为(∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)。极小值点为x=1，极小值为f(1)=4；极大值点为x=3，极大值为f(3)=0。