（人教A版）选择性必修二高二数学上学期期末训练 导数专题：利用导数研究函数零点的4种常见考法（原卷版）.docxVIP

导数专题：利用导数研究函数零点的4种常见考法

一、函数零点问题常规求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴（或y=k）在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象；

第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数。

二、利用导数确定函数零点的常用方法

1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；

2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。

三、利用函数的零点求参数范围的方法

1、分离参数（a=g(x)）后，将原问题转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；

2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；

3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。

四、导函数的零点不可直接求时的应对策略

1、“特值试探法”：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循一下原则：

=1\*GB3①当含有的函数中，通常选取，特别的，选当时，来试探；

=2\*GB3②在含有的函数中，通常选取，特别的，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决。

2、“虚设和代换法”：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：

=1\*GB3①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；

=2\*GB3②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。

题型一判断或证明零点的个数

【例1】已知函数，则的零点个数为（）

A．0B．1C．2D．3

【变式1-1】已知函数，，，则函数的零点个数为（）

A．2B．3C．4D．5

【变式1-2】已知函数.

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若，证明：在上只有一个零点.

【变式1-3】已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）证明：函数仅有一个零点.

题型二根据零点情况求参数范围

【例2】已知函数区间内有唯一零点，则不可能取值为（）

A．B．C．D．

【变式2-1】设有三个不同的零点，则a的取值范围是（）

A．B．C．D．

【变式2-2】已知函数（其中是自然对数的底数）.

（1）求在上的最值；

（2）若函数没有零点，求实数的取值范围.

【变式2-3】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围．

题型三与隐零点有关的问题

【例3】若在恒成立，则k的取值范围为（）

A．B．C．D．

【变式3-1】当时，不等式有解，则实数m的范围为（）

A．B．C．D．

【变式3-2】已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程．

（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【变式3-3】已知函数．

（1）已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程．

（2）当时，求证．

【变式3-4】已知函数，

（1）证明：当时，；

（2）时，设，讨论零点的个数

题型四三角函数中的零点问题

【例4】已知．

（1）证明：当时，；

（2）求在上的零点个数．

【变式4-1】已知

（1）若在处的切线恰好与轴平行，讨论此时的单调性；

（2）当时，判断的零点个数.

【变式4-2】已知函数，，其中为自然对数的底数，．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：函数有唯一零点；

（3）判断方程实数根的个数．

【变式4-3】已知函数

（1）若，判断f（x）在（，0）的单调性；

（2）在[0，]上有且只有2个零点，求a的取值范围.