（人教A版）选择性必修二高二数学上册同步精讲精练4.3.2 等比数列的前n项和公式（解析版）.docxVIP

4.3.2等比数列的前n项和公式

一、等比数列的前n项和公式

已知量

首项与公比

首项，末项与公比

公式

二、等比数列前n项和的函数特征

1、与的关系

（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，

它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，

由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；

（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。

2、与的关系

当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为

设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。

三、等比数列前n项和的性质

1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则.

2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．

3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。

四、等比数列前n项和运算的技巧

1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；

2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。

题型一等比数列前n项和与基本量

【例1】已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则（）

A．31B．C．31或5D．或5

【答案】B

【解析】因为是首项为1的等比数列，是的前项和，且

当时，，计算得所以

当时，，，所以综上：故选：B

【变式1-1】已知递增的等比数列中，，，则（）

A．25B．31C．37D．41

【答案】B

【解析】设等比数列的首项为，公比为，则①，

②，由①②得，

解得或，即（不满足单调递增，舍去）或，

所以.故选：B

【变式1-2】已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（）

A．B．2C．D．3

【答案】A

【解析】因为，所以设公比为q，可得：，

两式相除得：故选：A

【变式1-3】设等比数列的前n项和为，若，且，则__________.

【答案】

【解析】因为是等比数列，所以有，所以，所以，

因为，所以，即，

即：，解得：.故答案为：.

【变式1-4】设等比数列的前n项和为．

（1）若公比，，，求n；

（2）若，求公比q．

【答案】（1）6；（2）1或

【解析】（1）依题意，

由于，所以两式相除得，

.

（2）依题意，即，

，解得或.

题型二等比数列片段和性质及应用

【例2】已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（）

A．B．C．12D．15

【答案】C

【解析】由等比数列的性质可得也为等比数列，

又，故可得，

即，解得或，

因为等比数列各项为正，所以，故选：C

【变式2-1】设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】因为，且也成等比数列，

因为，，所以，

所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，

即，所以.故B，C，D错误.故选：A.

【变式2-2】等比数列的前n项和为，已知，，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为且为等比数列，

故为等比数列，

故，解得，故选：B.

【变式2-3】设等比数列的前项和为，若，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】因为数列为等比数列，则，，成等比数列，

设，则，则，

故，所以，得到，

所以.故选：C.

【变式2-4】设为等比数列的前项和，且则等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】因为为等比数列的前项和，

所以，，，成等比数列，

因为，，

所以公比，所以，，

所以，

所以，故选：A.

题型三等比数列奇偶项和的性质应用

【例3】已知等比数列中，，，，则（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

【解析】设等比数列的公比为，

则，

即，

因为，所以，

则，

即，解得，故选：B.

【变式3-1】已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（）

A．B．2C．D．

【答案】C

【解析】当时，，又，

即前10项分别为，

所以数列的前10项中，，

所以，故选：C．

【变式3-2】已知一个项数为偶数的等比数列，所有