（人教A版）选择性必修二高二数学上册同步精讲精练4.3.2 等比数列的前n项和公式（原卷版）.docxVIP

4.3.2等比数列的前n项和公式

一、等比数列的前n项和公式

已知量

首项与公比

首项，末项与公比

公式

二、等比数列前n项和的函数特征

1、与的关系

（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，

它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，

由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；

（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。

2、与的关系

当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为

设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。

三、等比数列前n项和的性质

1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则.

2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．

3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。

四、等比数列前n项和运算的技巧

1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；

2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。

题型一等比数列前n项和与基本量

【例1】已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则（）

A．31B．C．31或5D．或5

【变式1-1】已知递增的等比数列中，，，则（）

A．25B．31C．37D．41

【变式1-2】已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（）

A．B．2C．D．3

【变式1-3】设等比数列的前n项和为，若，且，则__________.

【变式1-4】设等比数列的前n项和为．

（1）若公比，，，求n；

（2）若，求公比q．

题型二等比数列片段和性质及应用

【例2】已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（）

A．B．C．12D．15

【变式2-1】设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（）

A．B．C．D．

【变式2-2】等比数列的前n项和为，已知，，则（）

A．B．C．D．

【变式2-3】设等比数列的前项和为，若，则（）

A．B．C．D．

【变式2-4】设为等比数列的前项和，且则等于（）

A．B．C．D．

题型三等比数列奇偶项和的性质应用

【例3】已知等比数列中，，，，则（）

A．2B．3C．4D．5

【变式3-1】已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（）

A．B．2C．D．

【变式3-2】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）

A．B．C．D．

【变式3-3】在数列中，，，若，则（）

A．3B．4C．5D．6

【变式3-4】在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．

题型四等比数列前n项和的其他性质

【例4】设是等比数列，且，下列正确结论的个数为（）

①数列具有单调性；②数列有最小值为；

③前n项和Sn有最小值④前n项和Sn有最大值

A．0B．1C．2D．3

【变式4-1】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（）

A．??B．

C．是数列中的最大值??D．数列无最大值

【变式4-2】设为等比数列，设和分别为的前n项和与前n项积，则下列选项错误的是（）

A．若，则不一定是递增数列

B．若，则不一定是递增数列

C．若为递增数列，则可能存在

D．若是递增数列，则一定成立

【变式4-3】已知等比数列的公比为，前项和为，则下列命题中错误的是（）

A．

B．

C．，，成等比数列

D．“”是“，，成等差数列”的充要条件

题型五等比数列中Sn与an的关系

【例5】等比数列的前n项和，则k的值为（）

A．全体实数B．