第11讲 平行线的性质（原卷版）-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）.docxVIP

第11讲平行线的性质

思维导图

核心考点聚焦

1.两直线平行，同位角相等

2.两直线平行，内错角相等

3.两直线平行，同旁内角互补

4.根据平行线的性质求角度

5.平行线的性质在生活中的应用

6.平行线的性质与判定综合应用

7.根据平行线的性质与判定探究角的关系

平行线的性质：

(1)文字表达：

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；

②简单说成：

两直线平行，同位角相等；

两直线平行，内错角相等；

两直线平行，同旁内角互补；

(2)几何语言表述：

已知，如图所示，若AB∥CD，

则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)；

②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)；

③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°).

1.平行线的性质是由平行得到角的关系，即同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.

2.根据两直线平行的关系去探究角的数量关系.

考点剖析

考点一、两直线平行，同位角相等

例题：如图，，，则的度数是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

，

，

，

故选B．

【变式训练】

1．如图，直线，直线，若，则（????）

??

A．30° B．40° C．50° D．60°

2．如图，，点B在直线b上，且，，那么（）

??

A． B． C． D．

考点二、两直线平行，内错角相等

例题：如图，直线，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，于点，若，则

【答案】35

【解析】如图，直线，，

又于点，，．故答案为：．

【变式训练】

1．如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于．

2．如图，点是的边的延长线上一点,，若，，则的度数等于．

??

考点三、两直线平行，同旁内角互补

例题：如图，已知，若，则的度数为．

??

【答案】/150度

【解析】如图，∵，∴，

∵，∴，故答案为：．

【变式训练】

1．如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为．

??

2．如图，直线，平分交直线于点E，若，则的度数为度．

??

考点四、根据平行线的性质求角度

例题：如图，是的平分线，，，求的度数．

??

【解析】，

，

平分，

．

【变式训练】

1．如图，，直线分别交、于点、，平分，，求的度数．

??

2．已知：，平分，于O，，求的度数．

??

考点五、平行线的性质在生活中的应用

例题：一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则．

??

【答案】100

【解析】如图，

??

由题意可得：，，

∴∠BCD=∠1=80°，

∴∠2=180°-80°=100°．

故答案为：100．

【变式训练】

1．如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为．

??

2．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则．

??

考点六、平行线的性质与判定综合应用

例题：如图，点在上，点在上，、分别交于点、，已知，．

(1)与平行吗？请说明理由；

(2)若，且，求的度数．

【解析】（1），理由如下：

∵，，又∵，∴，∴；

（2）∵，，

∴，∴，∴，，

∵，∴，∴，

∵，∴，∴．

【变式训练】

1．已知，点是上一点，平分交于点．

??

(1)如图1，若，求的度数；

(2)如图2，若平分，，，判断与之间的位置关系，并说明理由．

2．如图，已知，，，点E在线段上，，点F在直线上，．．

(1)求证：；

(2)如图，当点F在线段上时，求的度数；

(3)在点C运动过程中，点C（点C不与点B、H重合）从点B出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，请求出的度数．

考点七、根据平行线的性质与判定探究角的关系

例题：如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分

∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

(1)∠ABN的度数是；

(2)求∠CBD的度数；

(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．

【解析】（1）∵AMBN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案为116°；

（2）∵AMBN，∴∠ABN+∠A＝180°，

∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，

∴2∠CBP+2