专题11反比例函数与六类特殊图形（解析版）-2025数学常考压轴题上册九年级沪科版.docxVIP

专题11反比例函数与六类特殊图形

目录

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 1

压轴题型讲练 4

类型一反比例函数与等腰三角形结合 4

类型二反比例函数与直角三角形结合 10

类型三反比例函数与平行四边形结合 18

类型四反比例函数与矩形结合 23

类型五反比例函数与菱形结合 28

类型六反比例函数与正方形结合 32

压轴能力测评 37

1反比例函数与三角形综合的方法

涉及到面积问题时，往往利用割补法求三角形的面积；

比较函数大小时，通过图像即可比较得出；

利用待定系数法求解析式，解决不等式时也通过图形即可得出。

涉及到等腰三角形的存在和直角三角形的存在时，一般要分类讨论，根据各类情况情况进行分析，涉及到的知识点涵盖：两点间的距离公式，勾股定理等。

直角三角形时，如下图：

6，等腰三角形时，如下图：

画弧法：以等腰三角形确定边两端点分别为圆心，确定边长度为半径画弧，与动点所在直线的交点即为所求点，另外确定边的垂直平分线与动点所在直线的交点即为所求点。

2反比例函数与四边形综合

三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题。

2，待定系数法求函数解析式、函数图象与不等式的关系、菱形的性质以及利用三角形三边关系解决最值问题，同时也会用到等腰三角形的性质、中位线和直角三角形的性质。

3，平行四边形的存在性问题

利用线段长解析式=定值长（平行四边形对边平行且相等）列方程求值

类型一反比例函数与等腰三角形结合

例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．

(1)根据图象求k的值；

(2)根据图象时，写出自变量的取值范围；

(3)点P在y轴上，且满足以点A、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出点P所有可能的坐标．

【答案】(1)

(2)或

(3)或或或

【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、求函数解析式、运用图像求不等式的解集，等腰三角形的性质等知识点，掌握两函数图像的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键．

（1）先利用正比例函数求出，然后代入反比例函数解析式即可解答；

（2）先求出反比例函数与正比例函数的另外一个交点，直接根据函数图像即可解答；

（3）设，则，分，三种情况讨论即可．

【详解】（1）解：，

，

，

；

（2）解：联立，

令，则，

解得：或，

根据题意，

根据函数图象得：时，或；

（3）解：设，则，

，

当时，

则，

解得：或，

点P的坐标为或；

当时，

则，

解得：或（舍去），

点P的坐标为；

当时，

则，

解得：，

点P的坐标为；

综上，点P的坐标为或或或．

【变式训练1】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，连结，．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)求的面积；

(3)根据函数图象，写出不等式的解集：．

(4)点是轴上的一个动点，连结、，当是等腰三角形时，直接写出点坐标．

【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：；

(2)

(3)或

(4)点坐标为或或或或．

【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，分类讨论是解答本题的关键．

（1）将，坐标代入两个函数解析式即可得到两个解析式；

（2）设直线与轴交于点，利用代入数据计算即可；

（3）根据函数图象直接写出不等式的解集即可；

（4）分三种情况①当时，②当时，③当时，利用勾股定理建立方程求出点横坐标即可．

【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，

，，，

，，，

一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：；

（2）解：设直线与轴交于点，令，则，

，

．

（3）解：根据函数图象，不等式的解集为：或．

故答案为：或；

（4）解：，，

，

分三种情况讨论，

①当时，设则有：

整理得：，解得，即，，

或；

②当时，，设，则有：

，

，

解得，，

或；

③当时，设，则有，则有：

，

整理得：，

．

综上分析，点坐标为或或或或．

【变式训练2】．如图，已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；

(3)利用（2）的结果为条件，请问：在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标．

【答案】(1)

(2)

(3)或或

【分析】（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式．

（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可．

（3）先求出的距离，然后根据：，，分情况讨论解决．

【详解】（1）将，代入得，

解得

∴反比例函数的解析式为；

（2）由

解得，

∵点A在第一象限